Mostra isso $f’(0)$ existe e é igual a 1.

Dec 12 2020

Deixei $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$seja contínuo. Assuma isso$f’(x)$ existe para todos $x \neq 0$ e $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Mostra isso$f’(0)$ existe e $f’(0) = 1$

Minha tentativa: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Não acho que a troca de limite que fiz esteja correta. Alguém pode me ajudar com como fazer isso.

Respostas

2 gtoques Dec 12 2020 at 15:15

Acho que o post Martin R linkado diz algo semelhante, mas este é um aplicativo padrão do MVT: Fix $h>0$ e considere $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, então pelo teorema do valor médio você pode encontrar um ponto $a \in (0,h)$ de tal modo que $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Agora pegue$h \to 0$. O que acontece com$a$? Tenha em mente que$a$ depende de $h$.

Além disso, intercambiar limites não é uma boa ideia, a menos que você esteja apelando para um teorema / resultado específico que permite fazer isso. Em geral, mesmo os limites "fáceis" não podem ser alterados.