Movendo o diferencial/derivado externo dentro de um produto em cunha
Suposições : Deixe$M$seja suave$m$-múltiplo. (Se necessário: deixe$M$ser orientável e depois orientado. Deixar$M$seja compacto. Deixar$(M,g)$seja uma variedade Riemanniana.)
Deixar$\Omega^jM$ser o conjunto de liso$k$-formulários em$M$, para$j=0, 1, ..., m$. Deixar$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$ser exterior diferencial/derivado em$\Omega^jM$(baseado em$d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, com$\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
Deixar$k \in \{0, 1, ..., m\}$. Deixar$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
Observações :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$é uma forma superior lisa (também conhecida como lisa$m$-Formato)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$é uma forma superior lisa (também conhecida como lisa$m$-Formato)
Pergunta 1 : Supondo que as observações acima estejam corretas, elas são iguais?
Pergunta 2 : Em geral, podemos apenas mover a diferencial/derivada externa através de produtos em cunha e apenas multiplicar$(-1)^{\text{something}}$?
Pergunta 3 : Em qualquer coisa acima, estamos assumindo quaisquer coisas adicionais sobre$M$como orientável/orientado/compacto/riemanniano?
Pergunta 4 : Se não para a pergunta 1, então cada uma das 2 formas tem pelo menos integrais iguais, ou seja, os valores que obtemos quando colocamos cada uma em$\int_M$são iguais? Aqui, supomos agora$M$é orientável e depois orientado e acho que é compacto (caso contrário, acho que temos que assumir que os formulários têm suporte compacto ou algo assim).
Contexto : Isso vem de algumas definições e proposições que levam ao teorema de decomposição de Hodge, incluindo a definição do operador estrela de Hodge, mas estou tentando ver se entendi as partes não Hodge corretamente. ($\gamma$é na verdade a imagem de alguns$\beta \in \Omega^{k+1}M$sob o operador Hodge-star.)
Respostas
Aqui está uma tentativa de resposta.
Questão 1 Não há necessidade de uma igualdade como essa. O que é verdade é que$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
E assumir sua igualdade como verdadeira levará a uma suposição sobre$d(\alpha\wedge\gamma)$
Aqui está um contra-exemplo concreto:\begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
Pergunta 2 a resposta é não. Veja acima.
Na questão 3 acima, os cálculos são locais, portanto não depende de compactação ou orientabilidade: estenda o contraexemplo por zero fora de um gráfico.
Pergunta 4 a resposta ainda é não: no contra-exemplo acima,$d\alpha\wedge \gamma = 0$, portanto tem integral zero, mas$\alpha\wedge d\gamma$é uma forma de volume em uma variedade orientável, tem integral diferente de zero.
Em relação à resposta do @JanBohr (que leva a duas respostas auto-referidas), tenho que adicionar isso no caso$M$é orientado, então o teorema de Stokes afirma que$$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$e assim,$$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$e assim há (até assinar) uma igualdade tão logo$M$não tem limite ou$\alpha\wedge \gamma$é zero em$\partial M$.
Uma das propriedades definidoras do diferencial exterior é a regra de Leibniz$$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$Onde$k$é o grau de$\alpha$, veja por exemplo na wikipedia . Isso vale para variedades suaves arbitrárias, sem necessidade de uma métrica ou orientação riemanniana. Como$k$e$k^2$têm a mesma paridade, o lado direito na tela anterior é exatamente a diferença entre os dois$m$-formulários. Em particular, eles são iguais se$\alpha \wedge \gamma$está fechado. A integral sobre ambos$m$-formas, digamos se$M$é orientado e compacto, é o mesmo só porque a integral de uma forma exata é zero pelo teorema de Stokes.
Em relação ao contra-exemplo de @DIdier_ para a questão 4: Esta é uma situação em que a integral de contorno no teorema de Stokes não desaparece (para qualquer domínio suave em$\mathbb{R}^n$). Acima evito este problema assumindo$M$ser sem fronteiras. Outra saída é supor que$\alpha $e$\gamma$têm suporte compacto no interior.