Mudança da derivada de uma função para outra dentro de um integral [duplicado]

Dec 12 2020

Deixei $\Omega \subset \mathbb{R^n}$ ser aberto e limitado por $\partial \Omega$suficientemente liso. Deixei$u \in C^k(\bar{\Omega})$ e $\phi \in C_0^\infty (\Omega)$para um número inteiro positivo k. Mostre que:$$ \int_\Omega uD^{\alpha}\phi dx = (-1)^{|a|}\int_{\Omega}\phi D^\alpha udx $$ para qualquer índice múltiplo $\alpha$ com $|\alpha| <k$.

Para mim, este problema parece uma aplicação de um dos teoremas fundamentais do cálculo (Stoke's, divergência, etc.). No entanto, posso estar errado. Tentei calcular o LHS, mas não consegui chegar ao RHS.

Respostas

MartinArgerami Dec 12 2020 at 12:48

É integração por partes, se você assumir que todos os derivados de $\phi$ vá para zero no limite.