Não entendo como funciona esse PDF conjunto

Aug 16 2020

Esta pergunta vem do MIT 6.041 OCW.

Não entendi a parte b desta pergunta, especificamente como$f_X(x)$e$f_{Y|X}(y|0.5)$são calculados.

Pelo que entendi, você obtém o PDF marginal integrando o PDF conjunto, ou seja$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Isso já leva a muitas confusões:

  1. Existem, conforme o diagrama, dois$f_{X,Y}(x,y)$:$1/2$e$3/2$. Então, integrando esses dois, obtemos$\frac{1}{2}y$e$\frac{3}{2}y$respectivamente - então qual deles deveria ser$f_X(x)$? E é$f_X(x)$em termos de$y$legal mesmo?

  2. A solução afirma$f_X(x)$em termos de$x$, mas se integrarmos$f_{X,Y}(x,y)$em termos de$y$, como poderíamos obter$x$?

Solução para$f_{Y|X}(y|0.5)$é ainda mais estranho; o ponto individual não obtém PDF zero porque um ponto não tem área? Então, como é possível falar sobre$X=0.5$em primeiro lugar, muito menos deixar um evento de probabilidade zero ser o denominador?

Respostas

3 BrianTung Aug 19 2020 at 12:24

As integrais em questão são integrais definidas , não antiderivadas. Por exemplo,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Dado que

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

obtemos, para$0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

e para$1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Para os demais, temos

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

e

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Observe que a avaliação do último requer a integração de uma função constante por partes.