Número de maneiras pelas quais 3 bolas vermelhas idênticas e 3 bolas brancas idênticas podem ser distribuídas entre 3 caixas distintas, nenhuma caixa está vazia?

Question

Conforme mencionado no título, precisamos calcular o número de maneiras pelas quais 3 bolas vermelhas idênticas e 3 bolas brancas idênticas podem ser distribuídas entre 3 caixas distintas de modo que nenhuma caixa fique vazia.

Foram feitas algumas perguntas semelhantes, mas nenhuma que respondesse completamente a essa pergunta em particular (de acordo com meu conhecimento).

Tentei abordar isso criando alguns casos, que na verdade acabaram funcionando. Mas não fui capaz de criar uma abordagem geral para, digamos, n objetos idênticos de um tipo e m objetos idênticos de outro tipo em p caixas diferentes.

Answer 1

No início temos $6$bolas brancas. Nós podemos ter$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, ou $\{2,2,2\}$ bolas nas caixas, com $3$, $6$, $1$ordenações diferentes nos três casos. Agora pintamos três das seis bolas de vermelho. No$\{4,1,1\}$ caso, podemos pintar três dos $4$ vermelho ($1$ caminho), dois dos $4$ vermelho ($2$ formas), ou um dos $4$ vermelho ($1$caminho); faz$4$maneiras. No$\{3,2,1\}$ caso, podemos pintar todos os três $3$ vermelho ($1$ caminho), dois dos três vermelhos ($2$ maneiras), um dos $3$ vermelho ($2$ formas), ou nenhum dos $3$ vermelho ($1$caminho); faz$6$maneiras. No$\{2,2,2\}$ caso podemos fazer $2$ e $1$ bolas vermelhas em caixas diferentes ($6$ maneiras) ou uma bola vermelha em cada caixa ($1$caminho); faz$7$ maneiras.

Ao todo, existem $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ diferentes distribuições admissíveis.

Answer 2

Caso A. 4 bolas na primeira caixa.

1. Na caixa podemos encontrar 3 bolas vermelhas e 1 branca ou 3 bolas brancas e 1 vermelha. Isso significa exatamente um arranjo para a segunda e terceira caixas. Subtotal: 2 permutações
2. Na caixa podemos encontrar 2 bolas vermelhas e 2 bolas brancas. Isso significa dois arranjos possíveis para a segunda e a terceira caixa. Subtotal: 2 permutações
   Total: 4 permutações

Caso B. 3 bolas na primeira caixa.

1. 3 vermelhos ou 3 brancos. Isso significa 2 arranjaments nas outras caixas. Subtotal: 4 permutações
2. 2 vermelhos + 1 branco ou 1 vermelho + 2 brancos. Isso significa 4 arranjos possíveis nas outras caixas. Subtotal: 8 permutações
   Total: 12 permutações

Caso C. 2 bolas na primeira caixa.

1. 2 vermelhos ou 2 brancos. Isso significa 6 arranjos possíveis nas outras caixas. Subtotal: 12 permutações
2. 1 vermelho e 1 branco. Isso significa 7 arranjos possíveis nas outras caixas. Subtotal: 7 permutações
   Total: 19 permutações

Caso D. 1 bola na primeira caixa. Apenas uma forma: 1 vermelha ou 1 branca. Isso significa 10 arranjos possíveis nas outras caixas.
Total: 20 permutações

Conclusão: 4 + 12 + 19 + 20 = 55possíveis permutações.