Números de$1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$são escritos e quaisquer dois$x,y$são tomadas e nós substituímos$x,y$por apenas$x+y+xy$

Question

Esta é uma pergunta muito boa! ​​(Todo mundo já encontrou uma pergunta que os faz amar a matemática, esta é a minha :)

Escrevemos uma série de números$$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Agora podemos escolher quaisquer dois números$x$e$y$e substituímos esses dois números por apenas um número$x+y+xy$

Este processo é repetido até que reste apenas um número, encontre o último número.

Isso acabou de me confundir! Sério, não tendo ideia de como proceder. Não é interessante terminarmos com o mesmo número, independentemente de onde começamos? Todas as dicas são bem-vindas sobre como resolvê-lo

Answer 1

Esta é uma questão invariante: imagine uma função$f(x_1,...,x_m)$(Onde$m$é um certo número de argumentos e$x_i$são todos números reais) com a seguinte propriedade:$f(x_1,...,x_m)$não muda quando você pega dois desses$x_i,x_j$e substituí-los por apenas$x_i+x_j+x_ix_j$.

Então o que acontece? Se houver apenas um número$N$no quadro deixado depois de tudo isso, então$f(x_1,...,x_m) = f(N)$, assim$N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$providenciou que$f(x_1,...,x_m)$tem exatamente uma pré-imagem.

Uma dica para esta função$f$vem de$(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, então algo como: adicionar$1$a todos os números que você tem e multiplique esses resultados juntos?

É óbvio que tal função faz o trabalho! Nesse caso, devemos adicionar$1$a cada um dos números e multiplique todos eles. Isso é como multiplicar$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, que é apenas$2011$.

Agora, qualquer que seja o último número no tabuleiro, um mais isso é$2011$, então é$2010$.

Answer 2

A operação$x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$em números reais é associativo, então o resultado não depende da ordem das etapas e é igual a$$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

Answer 3

Suponha que você escolha$\frac1m$e$\frac1n$no primeiro turno, substitua-os por$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(Observe que$x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

No próximo turno, você pode escolher dois números$\frac1a$e$\frac1b$, e o número substituído terá a mesma aparência acima, com$a,b$substituindo$m,n$. No entanto, se você escolher o novo número obtido na etapa anterior, ou seja,$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$e um dos números originais$\frac1a$, então você os substitui por$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Preencha as etapas intermediárias para mostrar por indução que o número substituído em qualquer etapa será parecido com$\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, de modo que a resposta final será$$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.