O gradiente de uma função convexa é contínuo no interior de seu domínio

Aug 17 2020

Dada uma função convexa, semicontínua inferior e adequada $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ que é diferenciável em seu domínio, é verdade que seu gradiente $\nabla f$ é contínuo no interior do domínio de $f$? Aqui estou eu levando$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. O que eu inventei foi para tal função$f$, deve ser verdade que $f$é localmente Lipschitz contínuo em seu domínio e então pelo teorema de Rademacher é localmente diferenciável ae. Isso não consegue o que eu quero, no entanto. Alguém tem uma prova ou contra-exemplo?

Edit: este é o corolário 9,20 em Rockafellar e Wets, como se constatou.

Respostas

1 StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 04:07

Sem perda de generalidade, é suficiente provar $\nabla f$ é contínuo em $x = 0$ quando $\nabla f(0) = 0$. Suponha$x_n \to 0$ é tal que $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Dado$\epsilon>0$ de tal modo que $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, escolher $n$ de modo a $x_n \in B(0,\epsilon)$ e $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Sabemos que existe$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, de tal modo que $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (isto é, escolha $y$ na direção de $\nabla f(x_n)$ perto de $x_n$) Para$t \in \mathbb R$, deixei $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Por convexidade, veja que para$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ isso é $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Escolher $t = \epsilon / |x_n - y|$. Observe que$|z_t| < 2 \epsilon$. Então$$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Isso contradiz que $\nabla f(0) = 0$.

TrivialPursuit Nov 13 2020 at 06:13

Estou atualizando esta postagem com a pergunta de acompanhamento: Se $f$ é uma função convexa definida em algum conjunto convexo $E\subseteq \mathbb R^n$ e se é diferenciável em $E$, é verdade que seu gradiente deve ser contínuo em $E$ (e não só no interior)?