O mapa de Gysin em $K$-teoria respeita o bordismo?

Question

Deixei $X_1$ e $X_2$ ser dois giros fechados$^c$ manifolds que são fronteiriços por meio de um spin$^c$ múltiplo com limite $W$.

Deixei $Z$ ser um giro fechado$^c$ múltiplo com $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. Deixei$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ ser mapas suaves de tal forma que $F|_{X_1}=f_1$ e $F|_{X_2}=f_2$. Podemos associar a$f_1$ e $f_2$ dois mapas de direção errada (ou Gysin) em $K$-teoria:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

Deixei $E_1\to X_1$ e $E_2\to X_2$ ser dois $\mathbb{C}$- pacotes de vetores de forma que exista um pacote de vetores $\Omega\to W$ satisfatório $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ e $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Deixei$[E_i]\in K^0(X_i)$ denotar o $K$- aulas de teoria definidas por $E_i$.

Pergunta: É verdade que$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Adicionado depois: Eu estaria mais interessado em uma abordagem que não usasse diretamente a dualidade de Poincaré para a teoria K / homologia K.

Answer 1

Deixei $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ e $f:M\to X$

Escolha uma incorporação suave $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, denotado por $\chi$ o pacote normal de $X$ e por $\mu$ o pacote normal de $M$ após uma pequena deformação adequada de $i\circ f$.

Deixei $\nu=\mu|_N$ e $\eta$ seja o pacote normal de $N\subset M$ (que é trivial e unidimensional)

Ao considerar as vizinhanças tubulares, obtemos o mapa natural:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, Onde $Th$ denota um espaço de Thom.

Depois de aplicar o isomorfismo de Thom $th$ em $K^\bullet$ obtemos a definição de um mapa de Gysin (indo no "caminho certo" em um $Th$'s). Então para$f_!(E|_N)=0$ é suficiente para provar que $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Na realidade $t^*$está passando por um homomorfismo de conexão. Ou seja, há um diagrama comutativo:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

A seta superior vem das vizinhanças tubulares.

O isomorfismo horizontal vem da trivialidade de $\eta$, enquanto suspensão $\Sigma$ da sequência de cofibra Puppe:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

O mapa $\sigma$ explica a comutatividade e vem de:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ Onde $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ é um colar de $N$.

Finalmente, $\Sigma^*$ é o homorfismo de conexão e segue-se que $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ para todos $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, então $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Answer 2

A resposta é sim, usando propriedades gerais de orientações e classes fundamentais.

Deixei $X_1$ e $X_2$ estar $n$--dimensional. Então$f_{!i}$ é o composto $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Enquanto isso, a dualidade de Poincaré para $W$ tem a forma $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$e $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. portanto$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, e entao

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

desde o composto

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

é zero.