O que é necessário para provar que o espaço tangente em uma variedade é um espaço vetorial? [duplicado]
Atualmente estou trabalhando com a definição de vetores tangentes como classes de equivalência de curvas. assim$v =[\gamma]$ e $w=[\sigma]$ Onde $v,w$são os vetores. Quero provar que a soma dessas duas classes de equivalência também é uma classe de equivalência para dar a ela a estrutura do espaço vetorial. Definimos a soma como:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
Onde $\phi$é um gráfico. Eu entendo que as curvas não podem ser adicionadas quando pertencem à variedade, é por isso que primeiro mapeamos então os reais onde isso pode ser executado. Então, agora que a soma está definida, como posso provar que é outra classe no ponto$p$ em $M$. É o suficiente para garantir que o mapa passe$p$? A mesma pergunta vale para a multiplicação pelo escalar. obrigado
Respostas
Depois de ler sua postagem com mais atenção, aqui está um resumo de uma frase do seu erro: você está tentando adicionar (e multiplicar por escalar) as curvas em$\Bbb{R}^n$, em vez de suas velocidades. Como você observou, adicionar as curvas bagunça as coisas com os pontos de base.
Como um conjunto, temos $T_pM$ é o conjunto de classes de equivalência de curvas suaves, $[\gamma]$, Onde $\gamma$ é definido em algum intervalo aberto contendo $0$ de tal modo que $\gamma(0)=p$. Agora, para qualquer gráfico$(U,\phi)$ sobre o ponto $p$, considere a função $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ definido como \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Esta função é bem definida por causa de como a relação de equivalência é definida. Observe o significado intuitivo:$\gamma$ é uma curva com valores na variedade $M$, então, se usarmos um gráfico, podemos obter uma curva correspondente $\phi\circ \gamma$ com valores no espaço de Banach (ou seja, um espaço vetorial normatizado) $\Bbb{R}^n$, e sabemos como o cálculo funciona na configuração de espaços vetoriais. Então, todo esse mapa$F_{\phi,p}$ faz é leva uma curva $[\gamma]$ e mapeia para o "vetor velocidade" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Espero que seja intuitivo (caso contrário, apenas desenhe algumas imagens para ver onde cada objeto está).
Agora, também é fácil verificar que $F_{\phi,p}$é uma função bijetiva; Deixo para você verificar que$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ definido como \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}é a função inversa. Em palavras, o que estamos fazendo é pegar um vetor$v\in\Bbb{R}^n$, e considerando a linha reta $t\mapsto \phi(p)+tv$. Esta é uma curva baseada no ponto$\phi(p)$, na direção $v$. Desde a$\phi$ é um homeomorfismo, segue-se que para valores pequenos o suficiente de $t$, temos $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, portanto, podemos considerar a classe de equivalência da curva $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Então, o que gerou toda essa notação extra? Bem, nós temos uma função bijetiva$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, e claro, $\Bbb{R}^n$ é um espaço vetorial, então pela álgebra linear básica, podemos "puxar" a estrutura do espaço vetorial de $\Bbb{R}^n$ de modo a fazer $F_{\phi,p}$um isomorfismo linear. Explicitamente, o que quero dizer é que podemos definir adição e multiplicação escalar$+_{\phi}$ e $\cdot_{\phi}$ (Eu coloquei o subscrito porque tudo depende do gráfico até agora) da seguinte forma: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Se você desenrolar todas as definições, então \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Felizmente, a ideia é clara o suficiente: você tem uma bijeção, então você apenas empurra tudo para frente, faz os cálculos em $\Bbb{R}^n$, então traga tudo de volta para $T_pM$, e é assim que a adição e a multiplicação escalar são definidas. Deixo-vos que todos os axiomas do espaço vetorial estão satisfeitos e que$F_{\phi,p}$ é um isomorfismo linear etc.
Uma última coisa a se notar é que até agora a adição e multiplicação escalar foram definidas usando um gráfico particular $(U,\phi)$, mas na verdade, é um exercício simples de regra da cadeia para verificar se você tem um gráfico diferente $(V,\psi)$, então $+_{\phi}=+_{\psi}$ e $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, então a estrutura do espaço vetorial em $T_pM$ é realmente independente do gráfico, portanto, apenas o denotamos como $+$ e $\cdot$como sempre. Deixo isso para você desenrolar as definições, usar a regra da cadeia etc. para verificar isso. Se você tiver problemas, me avise, talvez eu possa elaborar mais.