Obtenha a soma de uma sequência a partir da soma de seus termos ímpares.

Question

Eu gostaria de calcular a soma $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ usando a série de Fourier de $f(x)=|x|$ sobre $(-\pi,\pi)$. Coeficientes$b_k$ são todos $0$ Porque $f$é mesmo. Fazendo o material de integração, obtive:$$ a_0 = \pi $$ e $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ para $k>0$. A igualdade de Parseval dá:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ que dá $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ que simplifica para $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ que basicamente diz: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ alguma ideia de como obter a soma a partir daí?

Answer 1

Observe que o que você tem é aquele $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Chamando$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ Você tem isso $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ e finalmente você tem $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ do qual $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

Você essencialmente tem

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Voce quer encontrar

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

em outras palavras, você deseja adicionar

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Fatorando um ${\frac{1}{2^4}}$ nos rendimentos acima

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

No geral, se você ligar ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ Você tem

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Agora você pode reorganizar para ${S}$?