$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ Onde $\gamma$ é a elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ onde o contorno $\gamma$ é a elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ atravessado no sentido horário.
Minha dificuldade é como traduzir a fórmula da elipse para o caminho analítico. para o círculo é fácil ($e^{zi}$), mas não sei como fazer para a elipse.
Respostas
$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$
Explicação:
$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$
Agora, para a elipse para uma parametrização trignomeétrica: $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$, conecte a mesma coisa à função complexa em $t$
Esqueça a parametrização explícita de $\gamma$, basta usar o teorema de Stoke . Em particular, use a versão indicada em coordenadas complexas.
Deixei $E$ seja a elipse limitada por $\gamma$. Desde a$\gamma$ Anda por aí $E$ no sentido horário, é "negativo" para a orientação de $\partial E$, o limite da elipse. Aplicar o teorema de Stoke em coordenadas complexas, temos
$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ Em termos de coordenadas cartesianas,
$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$é simplesmente o elemento área. Desde elipse$E$ tem eixos semi-maiores / menores $3$ e $2$, temos:
$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$
Para efeito de comparação, vamos refazer o cálculo em coordiantes cartesianos.
Podemos parametrizar $E$ Como
$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$
Desde a $\gamma$ Anda por aí $E$ no sentido horário, o sinal na frente de $\sin\theta$é negativo em vez de positivo. Conecte estes na integral original, torna-se
$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ Jogando fora termos que claramente não contribuem, obtemos
$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ Mesmo número $36\pi i$ obtivemos antes.