Os cosets esquerdos de $H$ dentro $G$ partição $G$

Question

Deixei $G$ seja um grupo e $H$um subgrupo. Então os cosets esquerdos de$H$ dentro $G$ partição $G$. Em particular,$(1)$ cada $a$ ∈ G está em exatamente um coset esquerdo, a saber $aH$, e $(2)$ E se $a, b \in G$, qualquer então $aH = bH$ ou $aH \cap bH = \emptyset $.

A parte $(2)$é feito. Meu problema esta em parte$(1)$, Tentei fazer isso, mas não tenho certeza:

Deixei $a\in G$, nós temos isso $e\in H$, assim $a\in aH$, Desde a $a=ae$. Isto mostra que$a$ encontra-se em algum coset esquerdo, a saber $aH$.

Agora se $a\in aH$ e $a\in bH$, nós temos isso $a=ae=abh$, assim $bh=e$ e assim $a$ encontra-se em exatamente um coset esquerdo.

Estou certo?

Answer 1

Supondo que você provou (2), eu prossigo:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Para $a,b \in G$ prove isso $aH=bH$ sse $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Para $a,b \in G$ prove isso $b \in aH$ sse $a^{-1}b \in H$

Então, as seguintes condições são equivalentes: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Desde a $e \in H, a=ae \in aH$. Deixei$a \in bH$. Então$aH=bH$. portanto$a$ pertence a exatamente um coset esquerdo.