Os módulos dg são mais do que um cofibrante da categoria dg?

Dec 07 2020

Corrigir um anel comutativo $k;$ todas as categorias dg serão categorias dg sobre $k.$Ao longo da pergunta, estarei seguindo a notação e as convenções de Toën " A teoria da homotopia das categorias dg e a teoria de Morita derivada ". Para uma categoria dg$C,$ deixar $[C]$ ser a categoria cujos objetos são iguais aos objetos de $C,$ e cujos morfismos são definidos por $\operatorname{Hom}_{[C]}(X,Y) := H_0(C(X,Y)).$

Deixar $F : C\to D$ seja um dg-functor entre categorias dg e lembre-se de que:

  • $F$é quase totalmente fiel se por todos$X,Y\in C,$ $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ é um quase isomorfismo,
  • $F$é quase essencialmente sobrejetivo se$[F] : [C]\to [D]$ é essencialmente sobrejetora,
  • $F$é uma quase-equivalência se for quase totalmente fiel e quase essencialmente sobrejetiva.
  • $F$é uma fibração se satisfizer as duas condições a seguir:
  1. Para todos $X,Y\in C,$ o morfismo $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ é uma fibração na categoria $\mathsf{Ch}(k)$ de complexos de cadeia sobre $k$ (ou seja, uma sobreposição), e
  2. Para todos $X\in C,$ dado qualquer isomorfismo $v : [F](X)\to Y'\in [D],$ existe $Y\in C$ e um isomorfismo $u : X\to Y$ dentro $[C]$ de tal modo que $[F](u) = v.$

Lembre-se de que existe uma estrutura de modelo na categoria $\mathsf{dgCat}_k$ de categorias dg sobre $k$ e dg-functores entre eles, com fibrações conforme definido acima, e com equivalências fracas dadas pelas quase-equivalências.

Para uma categoria dg $C,$ definir também a categoria dg $\widehat{C}$ para ser a subcategoria completa de $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ consistindo nos objetos fibrantes e cofibrantes, onde definimos as fibrações e equivalências em $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ para serem os functores que são fibrações e equivalências em nível de nível $\mathsf{Ch}(k).$

Minha pergunta é: suponha que $C$é uma categoria dg cofibrante. Então, qualquer um dos$\widehat{C}$ ou $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ categorias dg do cofibrante?

Primeiro, é fácil mostrar que $C$ é cofibrante se e somente se $C^{\textrm{op}}$é. Usando esta observação, a única maneira que pensei para obter um mapa$F : \mathsf{dgMod}_{C}\to A$ (ou $\widehat{C}$) levantando um functor $\mathsf{dgMod}_C\to B$ ao longo de uma fibração trivial $A\to B$ é usar a incorporação Yoneda $$ \begin{align*} h^{-}:C^{\textrm{op}}&\to \widehat{C}\\ X&\mapsto\left(\begin{array}{lll} h^X:&C&\to\mathsf{Ch}(k) \\ &Y&\mapsto C(X,Y) \end{array}\right) \end{align*} $$ e escrever qualquer módulo dg $M$ como um colimite de functores representáveis $M\cong\varinjlim_i h^{X_i}$ definir $$F(M) := \varinjlim_i G(X_i),$$ Onde $G : C^{\textrm{op}}\to A$ é um aumento do composto $$C^{\textrm{op}}\to \mathsf{dgMod}_C\to B$$ ao longo $A\to B.$

No entanto, existem alguns problemas com a estratégia: primeiro, $A$pode não ter colimites! Mesmo se$A$ tinha colimites apropriados, isso só definiria $F$ no nível dos objetos, e parece que $A\to B$teria que comutar com colimites para que isso fosse razoável. Existe uma maneira de salvar essa estratégia e, se não, existe outra maneira de abordar isso?


Edit: Para adicionar meu objetivo principal ao fazer isso, estou perguntando isso como um seguimento à minha pergunta anterior sobre como mostrar que a categoria infinita derivada comuta com a realização de pushouts. Recebi uma boa resposta abordando a situação no$\infty$-situação categórica, mas eu esperava encontrar uma prova disso no caso de categorias dg que não passaram pelo $\infty$-linguagem categórica. O esboço de prova que criei exigia que a categoria de módulos dg sobre uma categoria / álgebra de co-fibrante fosse co-fibrante para calcular os produtos tensores derivados que surgem.

Respostas

1 DmitriPavlov Dec 07 2020 at 22:52

Minha pergunta é: suponha que C seja uma categoria dg cofibrante. Então, são Ĉ ou dgMod_C ^ op co-fibrante das categorias dg?

Um objeto cofibrante em uma categoria de modelo gerado cofibrantemente (como dgCat) é uma retração de uma composição transfinita de mudanças de cobase de geração de cofibrações. As cofibrações geradoras de dgCat são functores entre pequenas categorias (ver, por exemplo, (4.7) e (4.13) em arXiv: 1201.1575 ), e a mudança de cobase, composição transfinita e retração preservam essa propriedade. Visto que dgMod_C ^ op e Ĉ ambos têm uma classe adequada de objetos (e até mesmo uma classe adequada de classes de equivalência fraca de objetos), não há como dgMod_C ^ op ou Ĉ poderiam ser transformados em categorias dg co-fibrantes.