Oscilador harmônico quântico, energia de ponto zero e o número quântico n

Jan 09 2021

A energia de um oscilador harmônico quântico é dada como,

\begin{equation} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{equação}

Eu entendo as implicações do princípio da incerteza de Heisenberg, que não permite que os átomos fiquem parados mesmo em$0$K. Esta incerteza é a razão para alguma energia possuída pelos átomos em$0$K - a energia do ponto zero (ZPE). A maioria dos textos introduz o ZPE observando como com$n = 0$ainda há uma energia remanescente igual a$\frac{1}{2}\hbar\omega$.

É$n$apenas um número? Se sim, como tem$n = 0$alguma coisa a ver com temperatura?

Respostas

10 lepmueller Jan 09 2021 at 02:00

A energia do ponto zero não tem importância aqui, já que você sempre pode escolher sua energia de referência livremente, você pode mudar a energia do seu hamiltoniano$\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$e a física do sistema permanecerá a mesma (a função de onda será a mesma). Uma vez que esta função de onda não é uma função delta localizada em zero (como é na mecânica clássica), mas sim mais espalhada, você pode interpretar isso como, por exemplo, seus átomos ainda vibrando quando neste autoestado do hamiltoniano.

Sobre sua pergunta: Sim,$n$é apenas um número que se destina a rotular os autoestados de energia do mais baixo ao mais alto. A temperatura só interfere indiretamente. Para definir uma temperatura, você deve definir um conjunto térmico (você precisa de mais de uma partícula para fazê-lo corretamente) com uma matriz de densidade associada$\rho$. Uma escolha comum para isso é dada por$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$Onde$|i\rangle$denotam os autoestados de energia e$E_i$os autovalores de energia correspondentes (neste caso para o oscilador harmônico).$T$é temperatura,$k$apenas uma constante. Você pode interpretar (de forma semelhante a um coeficiente de expansão de função de onda) que o fator$e^{-E_{i}/kT}/z$é uma probabilidade de estar no estado$|i\rangle$. Você pode ver que quando$T\rightarrow 0$, apenas o coeficiente com o menor autovalor de energia permanecerá (qualquer coeficiente com maior$E_i$-value desaparecerá mais rapidamente). A partir disso, pode-se deduzir que para um sistema geral (não apenas o exemplo do oscilador harmônico) o sistema estará no estado de energia mais baixa quando$T\rightarrow 0$(desde que você tenha um conjunto térmico).

6 TristanMaxson Jan 09 2021 at 01:51

O número quântico n representa simplesmente os diferentes níveis de energia dados pelo oscilador harmônico.

$\mathbf{n=0}$não corresponde a uma dada temperatura, mas a sua ocupação relativa a outros níveis de energia corresponde a uma dada temperatura. À medida que um sistema aumenta de temperatura, os níveis de energia mais altos podem ser ocupados em maior número. Da mesma forma, em 0 K há a exigência de que apenas o nível de energia mais baixo seja ocupado.

5 NikeDattani Jan 09 2021 at 02:56

É$n$apenas um número?

$n$é realmente um número. É apenas um número? Bem, é um número quântico , o que significa que rotula o$n^{\textrm{th}}$nível de energia excitado do sistema (ou seja, o$(n+1)^{\textrm{th}}$menor autovalor do hamiltoniano do sistema, com$n=0$correspondente ao menor autovalor,$n=1$correspondente ao segundo menor autovalor, etc.

Se sim, então como faz$n = 0$tem alguma coisa a ver com temperatura?

A matriz de densidade de um sistema com o potencial do oscilador harmônico é frequentemente dada em termos do Hamiltoniano$H$de:

\begin{equation} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\right)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{equação}

As diagonais da matriz de densidade do canto superior esquerdo ao canto inferior direito informam a probabilidade de encontrar o sistema em$n=0,1,2,\ldots$, o que significa que se o elemento superior esquerdo da matriz de densidade é$p$, a probabilidade do sistema ser encontrado no nível de energia correspondente a$n=0$é$p$. Quando$T=0$temos que a probabilidade do sistema estar em qualquer estado excitado ($n>0$) é extremamente suprimido pela exponencial decrescente, e você pode contar com a localização do sistema na$n=0$nível. Quando$T$for maior, os estados excitados serão mais provavelmente preenchidos. Como$T$abordagens$+\infty$, a exponencial se aproxima de 1 e nos aproximamos de um cenário onde as probabilidades se tornam iguais para cada estado$n$.

Eq. 1 nesta resposta também é:

  • Eq. 1 nesta resposta: Convertendo a energia de ligação de adsorção em temperatura absoluta
  • Eq. 3 nesta resposta: Posso calcular a diferença de energia livre em microestados próximos (temporariamente) usando a equação de Zwanzig para Perturbação de Energia Livre?
  • Eq. 2 nesta resposta: oscilador harmônico quântico, energia de ponto zero e o número quântico n
5 Jack Jan 09 2021 at 09:23

É$𝑛$apenas um número?

Resumidamente,$n$é o número quântico de energia do oscilador harmônico quântico.

Se sim, então como faz$𝑛$=$0$tem alguma coisa a ver com temperatura?

Em particular,$n$=$0$significa que o oscilador harmônico permanecerá em seu estado fundamental. Normalmente, supõe-se que o estado fundamental de um sistema quântico seja vivido em temperatura zero. Portanto, você pode encontrar uma conexão entre$n=0$e ponto zero.

  • Aqui está um post para falar sobre a relação entre temperatura zero e estado fundamental.

    • https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
  • Aqui está um post para falar sobre qual o tamanho para falar sobre equilíbrio térmico (isso é importante para definir temperatura):

    • https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium

Que ajude.

4 SusiLehtola Jan 10 2021 at 04:22

Como já foi dito em várias outras respostas,$n$é apenas um número, e a população dos estados com diferentes$n$depende da temperatura.

No entanto, um ponto importante ainda não foi mencionado. O oscilador harmônico quântico é frequentemente invocado para o movimento nuclear. Ele surge da expansão de Taylor de segunda ordem da superfície de energia potencial nuclear de Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$

onde o termo de primeira ordem desaparece, pois$\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$no mínimo.

Como a extensão espacial dos estados aumenta com$n$, a importância dos efeitos anarmônicos também cresce com$n$, ou com o aumento da temperatura.