Para mostrar o centro de homotetia do maior e menor círculo encontra-se na tangente comum sobre T

Question

$c_1$ centrado em $A$ passando através $B$.

$BB′$ é um diâmetro de $c_1$.

$T$ um ponto aleatório no segmento $BB′$.

$c_2$ centrado em $B′$ passando através $T$.

$c_3$ centrado em $B$ passando através $T$.

$c_4$ tangente externamente para $c_2$ e $c_3$ e internamente tangente a $c_1$

$F$ é o centro de $c_4$ e $H,I$ são pontos de tangência.

É claro para mim que $Z = HI \cap AF$ é o segundo centro de homotetia de $c_1$ e $c_4$ e eu gostaria de provar que também se encontra naquela linha perpendicular a $AB$ através $T$.

resultado relacionado importante que você provavelmente deve saber: Mostre que esses três círculos compartilham suas linhas tangentes externas comuns

Este parece ser um resultado geral sobre círculos sórdidos

Answer 1

• Deixe a tangente comum em $T$ Conheçer $AF$ em $Y$ e deixe perpendicular a $AB$ através $F$ Conheçer $AB$ em $L$.

  
  Então nós calculamos$y=LT$ pelo teorema de Pitágoras: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ então $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ e então nós temos $$y= {ac\over a+b}$$ então $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• Por outro lado, deixe $X$ estar em $HI\cap AF$.

  
  Homothety$H_1$ em $H$ e coeficiente ${b\over c}$ leva $F$ para $B'$ e homotetia $H_2$ em $G$ e coeficiente ${a+b\over b}$ leva $B'$ para $A$então composição $H_2\circ H_1$ leva $F$ para $A$ e tem centro em $FA\cap GH =X$. Esta composição tem coeficiente$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ então $X$ divide $AF$ na mesma proporção que $Y$ e assim $X=Y$ e nós terminamos.

Answer 2

O argumento da resposta de Aqua pode ser resumido da seguinte forma. Usamos os mesmos nomes de pontos, mas aqui$a,b,c$ são os raios dos círculos centralizados em $A,B',F$ respectivamente (isso muda o significado de $a$) Deixei$LT:TA$ estar $x$.

Conforme descrito na Geometria do Triângulo de Yiu , página 2 , o centro homotético interno$X$ (também conhecido como centro interno de similitude) de dois círculos $O(R),I(r)$ divide o segmento $OI$ na proporção $R:r$. Assim, o ponto interno homotético de$F(c),A(a)$ divide $FA$ na proporção $c:a$.

Usando o teorema de Pitágoras como na resposta de Aqua , obtemos

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Resolvendo para $x$(usando um solucionador online se formos preguiçosos), obtemos$x=\dfrac{c}{a}$. portanto

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

então $Y$ é o centro homotético interno de $c_1,c_4$.