Pedido de referência: equações diofantinas
Estou procurando um livro-texto, ou de preferência palestras, sobre o tema das equações diofantinas. Estou familiarizado com os princípios básicos da aritmética modular, cônicas e o Princípio de Hasse, e os fundamentos das curvas elípticas, o Teorema de Mordell etc. (embora eu não esteja até o ponto onde posso entender a prova).
O que eu preciso é algo que me leve além do básico. Algo que me ensinará a teoria avançada e também sobre superfícies diofantinas (não apenas curvas).
Respostas
Esta pode ser uma boa escolha para alguém que (como você) já está superficialmente familiarizado com algumas das definições e métodos da geometria diofantina:
- Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
Os dois seguintes são excelentes artigos expositivos (especialmente o primeiro), que me forneceram muita inspiração naquela época:
Mazur, Barry. Aritmética nas curvas. Touro. Amer. Matemática. Soc. (NS) 14 (1986), no. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, Barry. Sobre a passagem do local para o global na teoria dos números ( link )
Henri Darmon tem alguns artigos interessantes sobre o tópico de pontos racionais em curvas:
Pontos racionais nas curvas ( link )
Pontos racionais em curvas elípticas modulares ( link )
Anthony Varilly-Alvarado tem uma série de boas introduções ao tópico de pontos racionais em diferentes tipos de superfícies:
Aulas sobre a aritmética das superfícies del Pezzo ( link )
Aritmética de superfícies K3 ( link )
Alexei Skorobogatov ministrou um curso em 2013 sobre o tema de pontos racionais em superfícies e variedades de dimensões superiores. As notas atingem um grande equilíbrio entre acessibilidade e generalidade:
- Geometria aritmética: pontos racionais ( link )
Depois, há estas notas de Yonatan Harpaz sobre pontos racionais em superfícies elípticas:
- Pontos racionais sobre fibrações elípticas - Notas do curso ( link )
Finalmente (por enquanto), Brendan Hassett tem um bom artigo sobre o tópico de densidade potencial de pontos racionais em variedades, que também é muito interessante:
- Densidade potencial de pontos racionais em variedades algébricas ( link )
Por exemplo
- Teoria dos Números: Volume I: Ferramentas e Equações Diofantinas , Textos de Graduação em Matemática 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; e
- Teoria dos Números: Volume II: Ferramentas Analíticas e Modernas , Textos de Graduação em Matemática 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
por Henri Cohen.
É difícil ir longe na teoria moderna sem alguma geometria algébrica.
Esta é a abordagem adotada no livro:
- Bjorn Poonen, Rational points on variedades , Graduate Studies in Mathematics 186 (2017), publisher page , Author pdf .
Se você está interessado em aplicações do método de Baker, teorema do subespaço de Schmidt etc., então você pode gostar dos seguintes livros recentes de Evertse e Győry:
- Discriminant equations in Diophantine number theory , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
- Equações de unidade na teoria dos números Diofantina , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Aos livros mencionados acima, eu acrescentaria mais um:
- Variedades racionais e quase racionais (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) por J. Kollár, KE Smith e A. Corti.
Os autores apresentam uma abordagem mais ou menos elementar para as questões de racionalidade usando uma mistura de métodos clássicos e modernos.