Podemos ter conservação de momento sem conservação de energia?

Dec 07 2020

De acordo com o teorema de Noether, se o hamiltoniano é invariante sob translações em uma dada direção, então o momento linear correspondente é conservado. E se o hamiltoniano é independente do tempo, a energia total é conservada.

Seguindo essa lógica, deve ser possível ter um hamiltoniano que é invariante à translação, mas não invariante no tempo, digamos $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ Onde $V$ é alguma função apenas de $t$. Então, o momento, mas não a energia, seria uma quantidade conservada. Isso deveria ser contra-intuitivo ou surpreendente, ou é apenas uma consequência mundana de como definimos o hamiltoniano? E essa propriedade tem alguma relevância para os problemas do mundo real?

Respostas

10 ACuriousMind Dec 07 2020 at 00:46

Apenas adicionando uma função $V(t)$ para o hamiltoniano não faz nada - as equações de movimento envolvem apenas as derivadas do termo hamiltoniano $q$ e $p$, e isso não muda nada no sistema, você apenas escolheu um hamiltoniano mais estranho para ele. A energia ainda é conservada, simplesmente não é mais o mesmo que o valor do hamiltoniano.

O teorema de Noether não é sobre a invariância do hamiltoniano , é sobre a invariância da ação , e na ação a adição de uma função pura de tempo ao integrando é uma adição de uma derivada de tempo total (da integral indefinida da função adicionada ), que não altera o comportamento da (in) variância com o qual o teorema de Noether se preocupa.

Se você realmente deseja um sistema no qual o momento é conservado, mas a energia não, você precisa adicionar uma função $V(p,t)$ de momento e tempo aqui, mas os sistemas do mundo real geralmente não parecem funcionar dessa forma - quase todos os hamiltonianos úteis são da forma $p^2 + V(q,t)$ ao invés, onde $V(q,t)$ é o potencial de um campo de força possivelmente variável no tempo.

Se você tem mais de uma posição $q^i$, então você também pode construir um hamiltoniano variante no tempo, mas conservador de momentum, adicionando uma função $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$para o Hamiltoniano. Na verdade, nunca vi isso ser feito, mas um exemplo de brinquedo pode ser dois dispositivos que se tornam carregados com o tempo - a força de Coulomb entre eles seria desta forma. A energia não é conservada porque há um influxo de carga e, portanto, potencial elétrico, mas o momento é conservado, pois são apenas dois corpos se atraindo / repelindo sem outras forças envolvidas.