Podemos ter movimento caótico devido à precisão finita de nossos cálculos? [duplicado]

Nov 29 2020

Eu entendo que o movimento caótico significa que perturbações muito pequenas na condição inicial de partida podem levar a trajetórias muito diferentes no espaço de fase. Por esse motivo, nunca podemos prever o movimento com precisão, porque nunca podemos ter condições iniciais 100% precisas.

Podemos olhar para a incapacidade de prever os estados futuros de uma maneira diferente, relacionada à precisão de nossos cálculos (feitos em um computador)? Existem situações em que podemos conhecer as condições iniciais com 100% de precisão, mas ainda não podemos confiar em nenhum dos movimentos previstos, pois o movimento depende da precisão de cálculos intermediários, que, sendo feitos em um computador, são finitos e, portanto, não perfeitamente preciso?

Por exemplo, se eu precisasse calcular uma integral numérica como um passo em direção a uma resposta final, se minha integral fosse computador para 16 pontos flutuantes vs precisão de 32 pontos flutuantes, isso corresponderia a uma diferença no décimo sexto dígito significativo, que poderia ser o suficiente para induzir um comportamento totalmente diferente nas trajetórias subsequentes.

Poderíamos imaginar um caso em que, não importa quão precisos fossem seus cálculos, uma precisão adicional nos cálculos faria com que a trajetória divergisse caoticamente. Sabe-se da existência desse fenômeno e há exemplos dele?

Respostas

3 stafusa Nov 30 2020 at 05:14

A pergunta do título é um pouco diferente da pergunta no corpo da postagem, então vamos examiná-las separadamente:

  1. Podemos ter movimento caótico devido à precisão finita de nossos cálculos?

Sim, o próprio Lorenz descreveu o fenômeno, chamando-o de caos computacional [Lorenz 1989]:

Quando se busca soluções aproximadas de um conjunto de equações diferenciais por integração numérica gradual, a escolha de um incremento de tempo $\tau$ [...] podem render soluções caóticas, mesmo quando as verdadeiras soluções se aproximam de ciclos limites ou pontos fixos.

  1. não pode confiar em nenhum dos movimentos previstos [?]

Pelo menos para sistemas hiperbólicos, na verdade, sim, você pode confiar neles. O que o cobre é o chamado teorema de sombreamento , que garante que, mesmo que você realmente não esteja simulando a verdadeira trajetória da condição inicial que você escolheu, há um ponto inicial ligeiramente diferente cuja trajetória permanece arbitrariamente perto do gerado por computador trajetória. Verifique também esta resposta .

[Lorenz 1989] Caos computacional - um prelúdio para a instabilidade computacional , Physica D 35 (3), 1989, Páginas 299-317.

2 gandalf61 Nov 29 2020 at 23:52

Sim, é inteiramente possível que erros de arredondamento devido à aritmética de precisão finita possam afetar drasticamente o resultado de simulações de computador de sistemas não lineares. Na verdade, um dos pioneiros da moderna teoria do caos, Edward Lorenz , foi inspirado a estudar sistemas caóticos quando passou por esse problema. Lorenz estava executando uma simulação climática envolvendo equações diferenciais não lineares em um dos primeiros computadores digitais. Quando ele tentou reproduzir um cenário inserindo valores iniciais com três casas decimais de precisão, ele descobriu que a nova execução divergia muito rapidamente da saída original. A investigação da causa desse comportamento surpreendente, que Lorenz mais tarde descreveu como o efeito borboleta , levou à descoberta do atrator Lorenz .