Por que as equações de Maxwell não são sobredeterminadas? [duplicado]

Jan 03 2021

Considere as quatro equações diferenciais na tabela fornecida na wikipedia aqui e assuma que não há distribuição de carga em nenhum momento e, portanto, também não há corrente. Se não houver cobrança, as quatro equações se reduzem ao seguinte:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

As duas últimas equações nos dizem como os campos magnético e elétrico mudam com o tempo, respectivamente, portanto, dados alguns campos magnéticos e elétricos iniciais, deve-se ser capaz de determinar qualquer estado futuro de ambos os campos. Isso faz com que as duas primeiras equações pareçam redundantes para mim e, portanto, o sistema pareça superdeterminado. No entanto, eles são claramente necessários, então devo estar faltando alguma coisa. As duas primeiras equações são simplesmente condições iniciais?

Respostas

2 josephh Jan 03 2021 at 15:36

As duas primeiras equações de Maxwell descrevem campos elétricos e magnéticos estáticos. A partir dessas equações, aprendemos as propriedades geométricas de tais campos e a natureza das linhas de força que esses campos produzem. O primeiro (quando houver carga presente)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

nos leva a determinar a forma do campo elétrico para qualquer tipo de distribuição de carga. Isso é extremamente importante para o estudo da eletrostática. Além disso, esta equação pode ser usada para derivar a equação de Poisson,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

o que nos permite determinar o potencial eletrostático $V$para várias distribuições de encargos. Também podemos usar a equação de Maxwell acima para derivar a lei de Coulomb (embora essa lei não seja necessariamente um resultado direto apenas dessa equação). A equação de Poisson também é uma ferramenta muito poderosa no estudo da eletrostática. Essa equação também tem aplicações poderosas na física de semicondutores.

A segunda equação que você menciona,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

nos diz algo muito importante, que é que não existem monopólos magnéticos. A implicação matemática desta equação é que deve existir potencial vetorial magnético$\vec A$ Onde

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

Este é um resultado matemático poderoso. Este potencial vetorial magnético é onipresente na eletrodinâmica clássica e na eletrodinâmica quântica.