Por que as equações de Maxwell não são sobredeterminadas? [duplicado]
Considere as quatro equações diferenciais na tabela fornecida na wikipedia aqui e assuma que não há distribuição de carga em nenhum momento e, portanto, também não há corrente. Se não houver cobrança, as quatro equações se reduzem ao seguinte:
$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$
As duas últimas equações nos dizem como os campos magnético e elétrico mudam com o tempo, respectivamente, portanto, dados alguns campos magnéticos e elétricos iniciais, deve-se ser capaz de determinar qualquer estado futuro de ambos os campos. Isso faz com que as duas primeiras equações pareçam redundantes para mim e, portanto, o sistema pareça superdeterminado. No entanto, eles são claramente necessários, então devo estar faltando alguma coisa. As duas primeiras equações são simplesmente condições iniciais?
Respostas
As duas primeiras equações de Maxwell descrevem campos elétricos e magnéticos estáticos. A partir dessas equações, aprendemos as propriedades geométricas de tais campos e a natureza das linhas de força que esses campos produzem. O primeiro (quando houver carga presente)
$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$
nos leva a determinar a forma do campo elétrico para qualquer tipo de distribuição de carga. Isso é extremamente importante para o estudo da eletrostática. Além disso, esta equação pode ser usada para derivar a equação de Poisson,
$$\nabla^2 V = -\rho$$
o que nos permite determinar o potencial eletrostático $V$para várias distribuições de encargos. Também podemos usar a equação de Maxwell acima para derivar a lei de Coulomb (embora essa lei não seja necessariamente um resultado direto apenas dessa equação). A equação de Poisson também é uma ferramenta muito poderosa no estudo da eletrostática. Essa equação também tem aplicações poderosas na física de semicondutores.
A segunda equação que você menciona,
$$\nabla \cdot \vec B = 0$$
nos diz algo muito importante, que é que não existem monopólos magnéticos. A implicação matemática desta equação é que deve existir potencial vetorial magnético$\vec A$ Onde
$$\vec B = \nabla \times \vec A$$
Este é um resultado matemático poderoso. Este potencial vetorial magnético é onipresente na eletrodinâmica clássica e na eletrodinâmica quântica.