Por que as matrizes de covariância projetadas pela multiplicação à direita e à esquerda?

Question

Tenho feito muito trabalho de filtragem de Kalman recentemente. Eu deduzi todas as equações a partir de um problema linear inverso básico, portanto, estritamente falando, sei de onde tudo vem. Também achei este exemplo mais pictórico instrutivo para solidificar a intuição.

Mas não consigo lembrar exatamente ou intuir porque projetar uma matriz, digamos, uma matriz de covariância$P$, de um espaço para outro, por dizer transformação $H$, é dado como $HPH^T$.

Faz todo o sentido que você projete um vetor multiplicando à esquerda $Hv$.

Por que para matrizes existe aquele extra $H^T$ sair, além de fazer as dimensões funcionarem?

Answer 1

Agora que olho novamente, vejo a identidade

E uma rápida pesquisa na Wikipedia resulta

Isso funciona porque $X$ tem média 0, então o segundo termo no centro desaparece, e o $A$ e $A^T$ pode ser fatorado fora da primeira expectativa, deixando $AE[XX^T]A^T$, Onde $E[XX^T] = \Sigma$.