Por que as matrizes de Gell-Mann têm essa normalização?

Aug 18 2020

Esta pode ser uma pergunta estúpida, mas por que a normalização das matrizes de Gell-Mann (base da$\mathrm{su}(3)$Álgebra de Lie) escolhido para ser$$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$em vez de apenas$\delta_{ij}$sem o fator$2$? Na maior parte da álgebra linear, os vetores de base são normalizados para$1$(ou não normalizado). Por que não no contexto das Álgebras de Lie? Existe uma maneira de olhar para isso que torna o fator$2$parece natural?

Em uma nota relacionada, alguns textos de física alteram a normalização definindo "os geradores do$\mathrm{SU}(3)$grupo" como$T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$. Mas estes apenas cumprem$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$o que parece tão antinatural para mim. (E a diferença entre essas duas convenções de normalização me custou uma hora perseguindo um fator ausente$4$em um longo cálculo. É por isso que estou fazendo essa pergunta xD).

Respostas

2 CosmasZachos Aug 18 2020 at 21:05

História. As matrizes de Gell-Mann são uma extensão/generalização das matrizes de spin de Pauli para su(2) , e$\lambda_{1,2,3}$identificar com estes, então obedeça a mesma relação de traço.

Você também entende por que as matrizes de Pauli são ainda mais normalizadas dessa maneira por um 1/2 extra, de modo a obedecer à álgebra su(2) canonicamente normalizada com constante de estrutura ε , evitando assim exponenciais de meio ângulo.