Por que é importante escrever uma função como a soma de funções pares e ímpares?
Para a função $f(x)$ podemos escrevê-lo como a soma de funções pares e ímpares:
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
Minha pergunta é por que é importante para nós escrever uma função como a soma dessas duas funções pares e ímpares? Existe alguma aplicação disso?
Respostas
Quando eu era um estudante do ensino médio, pensei que a decomposição par / ímpar sobre a qual você escreve parecia meio peculiar e não tão fundamental. Depois de aprender mais matemática, percebi que o método por trás disso (extração de "peças simétricas" por meio de média e o que você pode chamar de anti-média) é na verdade um exemplo muito simples de dois processos importantes em matemática: decomposições eigenspace e média sobre um grupo para extrair simétrica pedaços de uma função (ou vetor, etc. ). O que escrevo a seguir não tem como objetivo fornecer novas situações em que sua decomposição par / ímpar ajude a resolver um problema de cálculo, mas sim mostrar muitos outros exemplos da mesma ideia para que você veja que ela ocorre de maneira bastante ampla na matemática.
Em quase todas as situações em que há uma operação que itera duas vezes para ser a operação de identidade, você obtém um análogo da decomposição par / ímpar. Aqui estão três exemplos.
A matriz transposta (onde $M^{\top\top} = M$) leva à expressão de uma matriz quadrada como uma soma de matrizes que são simétricas ($M^\top = M$) e assimétrico ($M^\top = -M$) $$ A = \frac{A + A^\top}{2} + \frac{A - A^\top}{2} $$
Conjugação complexa (onde $\overline{\overline{z}} = z$) dá um ponto de vista do tipo "par / ímpar" ao escrever um número complexo na forma padrão é $a+bi$, uma vez que esta é a soma de um número real (adequado $\overline{w} = w$) e um número puramente imaginário (adequado $\overline{w} = -w$): $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z - \overline{z}}{2} = a + bi $$ Onde $z = a + bi$ e $\overline{z} = a - bi$.
O operador de troca em funções ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) ou tensores ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) leva à expressão de uma função ou tensor como uma soma de funções ou tensores simétricos e antissimétricos: $$ f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2} $$ e $$ v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w - w \otimes v}{2}. $$ Isso tem um papel na mecânica quântica, onde está subjacente à distinção entre bósons (tendo funções de onda simétricas) e férmions (tendo funções de onda antissimétricas).
Eu disse que em quase todas as situações você obtém algo como uma decomposição par / ímpar porque às vezes uma dessas partes é zero e, portanto, desinteressante. Por exemplo, uma rotação de 180 graus$R$ do avião tem $R(v) = -v$ para todos $v$ dentro $\mathbf R^2$, então aqui todo o espaço "parece estranho" sob o efeito de $R$. Nenhum vetor em$\mathbf R^2$ é fixado por uma rotação de 180 graus, exceto para a origem.
O uso de "ordem $2$"aqui mantém a álgebra muito simples, mas também podemos considerar simetrias de ordem superior em vez de simetrias de ordem 2. Considere para cada$n \geq 1$ tentando decompor uma função $f:\mathbf C \to \mathbf C$ como uma soma de funções $f_k(z)$ que são "torcidos" por $k$os poderes sob escala interna por um $n$a raiz da unidade: $f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$ para todos $n$as raízes da unidade $\zeta$ (ou equivalentemente apenas $\zeta = e^{2\pi i/n}$) e todos os números complexos $z$, Onde $0 \leq k \leq n-1$. O caso$n=2$ são funções pares / ímpares em $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ meios $f_0$ é uma função uniforme e $f_1(-z) = -f_1(z)$ meios $f_1$é uma função estranha). Tirando$n = 4$, podemos tentar decompor cada função $f:\mathbf C \to \mathbf C$ como uma soma de quatro funções $$ f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z) $$ Onde $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$, e $f_3(iz) = -if_3(z)$ para todos $z \in \mathbf C$.Aqui estão as fórmulas para cada uma das funções: $$ f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4}, $$ $$ f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4}, $$ $$ f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4}, $$ $$ f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}. $$ Estas fórmulas de média são generalizações das fórmulas que você escreveu para determinar as partes pares / ímpares de uma função $\mathbf R \to \mathbf R$. E isso é útil na análise de Fourier, uma vez que a transformada de Fourier nas funções tem ordem$4$.
As ideias aqui apresentadas estendem-se ainda mais à decomposição de uma representação de um grupo finito como uma soma de representações irredutíveis. Para o grupo cíclico de ordem$2$existem duas representações irredutíveis, e isso se reflete no aparecimento de funções pares e funções ímpares em sua fórmula. Portanto, a decomposição par / ímpar para funções em sua pergunta é um caso especial de uma ideia realmente importante em matemática. Não é apenas um "truque" para resolver problemas de cálculo artificial.
Uma aplicação realmente interessante para essa decomposição (que vi no canal do YouTube "Flammable Maths") é avaliar integrais da forma $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx$$ Onde $t,a>0$ são constantes, $E(x)$ é uma função par (contínua) e $O(x)$é uma função ímpar (contínua). Se você definir$f(x)=\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}$ e escrever $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ você pode dizer isso $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\Bigg)dx+\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\Bigg)dx$$A última integral no RHS desaparece, pois estamos integrando uma função ímpar em um domínio simétrico. Com um pouco de álgebra$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}E(x)$ dando-nos o resultado incrível $$\int_{-a}^a\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}dx=\int_{0}^aE(x)dx$$o que é muito legal! Isso significa que podemos dizer algo como$$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4-x^2+1}{1+3^{\sin^2(x)\tan(x)+x^5+x}}\Bigg)dx=\int_0^1\big(x^4-x^2+1\big)dx=\frac{13}{15}$$ Isso também pode ser usado para calcular algumas integrais duplas bastante desagradáveis! $$\int_0^1 \int_{-x^2}^{x^2}\Bigg(\frac{xy^2+x^3}{1+3^{x\tan^{11}(y)+e^x\sin^7(y)}}\Bigg)dydx=\int_0^1 \int_0^{x^2}(xy^2+y^3)dydx=\frac{5}{24}$$ Adoro.
Edit : Esta técnica de integração realmente generaliza para integrais do formulário$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx$$ Onde $E_1(x),E_2(x)$ são funções pares arbitrárias (contínuas) enquanto $O(x)$é uma função ímpar arbitrária (contínua). Usando exatamente o mesmo procedimento delineado acima, podemos dizer$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{0}^aE_1(x)dx$$ que significa $$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4+x^2+1}{1+\big(x^2e^{-x^4}+\cos(x)\sin(x^2)\big)^{x^2\tan(x^3)+x}}\Bigg)dx=\int_0^1(x^4+x^2+1)dx=\frac{23}{15}$$
A resposta de KCd menciona de passagem o que vou falar, mas vou elaborar sobre isso: a resposta curta é a análise de Fourier .
Dividir uma função em componentes pares e ímpares é uma técnica de solução de problemas extremamente útil ao trabalhar com a transformada de Fourier e a série de Fourier associada . Uma função que é puramente par ou puramente ímpar é mais fácil de encontrar a transformada / série de Fourier.
Isso pode parecer um tópico de nicho, mas a análise de Fourier é uma das técnicas matemáticas mais poderosas e amplamente utilizadas. Você não pode ir longe em qualquer campo STEM sem encontrá-lo, portanto, tornar a análise de Fourier mais fácil é mais significativo do que você pode imaginar.
Há muito conhecimento na Internet sobre o que é a análise de Fourier e como ela funciona, então não vou repeti-la aqui. Achei este vídeo do YouTube uma boa introdução ao tópico.
Um famoso exemplo de decomposição em funções ímpares e pares é dado pela fórmula de Euler \begin{align*} \color{blue}{e^{iz}}&\color{blue}{=}\color{blue}{\cos z+i\sin z}\\ &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\qquad\qquad z\in\mathbb{C}\\ \end{align*} que é usado em muitos aplicativos.