Por que essa sequência não é uniformemente convergente?
Neste problema é explicado que $f_n(x)$é convergente pontual, porém não uniformemente convergente. A explicação por que não é unifromly convergente também é fornecida. No entanto, eu não consigo entender, quando eu uso o teorema abaixo eu obtenho o limite de$f_n - f = 0$ Alguém poderia me dar mais detalhes respondendo por que a sequência é uniformemente convergente?
Respostas
Desde a $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, Você tem $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Em outras palavras,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$e, em particular, é não verdade que$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Portanto, a convergência não é uniforme.
Primeiro, você deve determinar o limite pontual . Deixei$x\in[0,1]$. Para$n>1/x$, $f_n(x)=0$, então o limite pontual é $0$.
Como mostra a explicação, temos $\|f_n\|_\infty=n/4$. Portanto,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ e usando o teorema que você citou, o limite da suprema divergente é equivalente a $f_n$ não convergindo uniformemente.
Por definição de convergência de uma sequência em um espaço normalizado (ou no espaço métrico geral), a sequência (fn) não pode convergir para f porque a norma (aqui é sup-norma) de (fn - f)> = 1/4 para todos n.