Por que não houve unificação de axiomas de topologia e axiomas de teoria de medida?
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Os axiomas de um espaço topológico e um espaço de medida no início parecem muito semelhantes. Eles diferem nos axiomas de fechamento de sindicatos e cruzamentos. A estranha semelhança entre uma métrica e uma medida me faz pensar por que esses axiomas foram definidos separadamente. Eles não poderiam desenvolver uma teoria apenas com o conceito de medida e espaço de medida?
O único problema que vejo é que isso pode criar uma lógica circular. Se precisamos de axiomas espaciais topológicos para desenvolver conceitos na teoria da medida, essa é a razão pela qual precisaríamos separar os dois conceitos. O fechamento de uniões arbitrárias versus uniões contáveis e interseções finitas versus interseções contáveis não é algo que eu gostaria de ver como a única diferença entre os dois conceitos. Por que ter dois sistemas separados quando eles são, pelo menos desde o início, conceitos muito semelhantes?
Respostas
Topologias e $\sigma$-álgebras são projetadas com objetivos diferentes em mente. $\sigma$-álgebras são projetadas para funcionar bem com medidas, que são um tipo generalizado de mapa de medição de volume. As topologias são projetadas para capturar uma noção de "proximidade": quando é um ponto$x$ perto de um conjunto $S$? Se cada bairro aberto de$x$ cruza $S$. Quando uma sequência fica arbitrariamente perto de$x$? Se cada bairro aberto de$x$contém pontos na sequência. Coisas assim. Portanto, não é surpreendente que, no início, topologias e$\sigma$-álgebras são diferentes.
Mas! Se pensarmos um pouco mais nisso, podemos descobrir que intuitivamente, as vizinhanças abertas de um ponto são aquelas que têm um certo volume. Tipo, se eu colocasse uma bola aberta$x$, Posso dizer que tem um volume diferente de zero. E$\sigma$-álgebras são projetadas para permitir medições de volume. Portanto, não deveriam todos os conjuntos abertos de alguma forma ser transformados em um$\sigma$-álgebra? Afinal, pode ser útil atribuir um volume a esses conjuntos. E a resposta é sim, faz sentido. Gostaríamos muito se pudéssemos atribuir um volume aos conjuntos abertos. Por exemplo, isso permitiria que funções contínuas funcionassem bem com o volume, uma vez que funções contínuas funcionam bem com conjuntos abertos. E é por isso que definimos o Borel$\sigma$-álgebra : dado um espaço topológico$(X,\tau)$, nós definimos o Borel $\sigma$-álgebra em $X$ Como $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, esse é o menor $\sigma$-álgebra contendo todos os subconjuntos abertos de $X$, então todos os subconjuntos que devem ter volume. Agora$(X,\mathcal B(X))$ é um espaço mensurável no qual podemos definir uma medida $\mu$atribuir um volume a cada conjunto aberto, se quiséssemos. Esta abordagem é frequentemente utilizada para definir a medida de Lebesgue, por exemplo. Pegamos cada conjunto aberto de$\mathbb R^n$e atribuir-lhe o volume que deve intuitivamente ter, e então pegamos todos os outros conjuntos que poderíamos obter ao uni-los e cruzá-los e atribuir-lhes um volume que está de acordo com a definição de uma medida. (Existe uma abordagem "melhor" usando medidas externas que produz conjuntos mais mensuráveis, mas esta é mais simples.)
Mas o borel $\sigma$-álgebra é apenas um específico $\sigma$-algebra podemos querer. Para outros aplicativos, os diferentes podem funcionar melhor, especialmente se não nos importamos realmente com uma sensação de proximidade no conjunto subjacente. Então não precisamos de uma topologia, então por que restringir nosso$\sigma$-álgebra com topologia?