Por que o fato de que podemos forçar a hipótese do contínuo não prova completamente a hipótese do contínuo?

Aug 18 2020

Estou lendo Forcing for Mathematicians de Nick Weaver e no Capítulo 12 ("Forcing CH") ele começa com isto (páginas 45-46):

(Tudo aqui é relativizado para $M$ - que em seu livro é um modelo de ZFC).

Deixei $P_1$ ser o conjunto de todas as funções parciais de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ para $\aleph_1$ (que é uma noção forçada) e deixe $G$ seja um ideal genérico de $P_1$. Uma vez que os elementos de$G$ são funções que devem ser consistentes (uma vez que $G$ é um ideal) você pode fazer a união deles para construir uma função $\tilde{f}$ de um subconjunto de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ para um subconjunto $\aleph_1$.

Ele então prova que:

$\tilde{f}$ é uma bijeção (não apenas uma função) de um subconjunto de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ para um subconjunto $\aleph_1$ já que remendar bijeções consistentes fornece uma bijeção.
O domínio de $\tilde{f}$ é tudo de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ Desde a $G$ é genérico.
O alcance de $\tilde{f}$ é tudo de $\aleph_1$ Desde a $G$ é genérico.

Tanto quanto eu posso dizer, portanto, dado qualquer modelo $M$ de ZFC (ou seja, qualquer conjunto para o qual ZFC é válido), há uma bijeção de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ para $\aleph_1$ e, portanto, a hipótese do continuum é verdadeira.

Eu sei que ele continua falando sobre $M[G]$ mas, tanto quanto eu posso dizer, qualquer $M[G]$ é apenas outro modelo de ZFC e poderia muito bem ter sido o conjunto que escolhemos para $M$.

Respostas

9 AsafKaragila Aug 18 2020 at 01:11

Mas a bijeção $\widetilde f$ não está em $M$, esse é o ponto principal. Está dentro$M[G]$. O que você mostrou é apenas que para cada modelo de$\sf ZFC$, existe um modelo maior no qual $\sf CH$ é verdade.

Para ver isso de fato $\widetilde f\notin M$, observe que dada qualquer função$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, há um conjunto denso de condições $p$ de tal modo que $p\nsubseteq g$. Portanto, por genericidade,$\widetilde f\neq g$. E se$\widetilde f$ não é igual a qualquer função em $M$, então não pode estar em $M$.

(Esta é, de forma mais ampla, a razão pela qual sempre que um forçamento não é trivial, não há filtros genéricos no modelo básico.)

7 ChrisEagle Aug 18 2020 at 01:12

A chave aqui é que $G$ é necessário ser genérico sobre $M$, e como consequência $G \not\in M$.

Como você notou, se você pode fazer um modelo de ZFC que contém $G$ e que concorda com $M$ sobre o que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ e $\aleph_1$são, então, nesse modelo, o CH será válido. Forçar nos diz como construir esse modelo e, portanto, nos mostra que dado um modelo$M$podemos fazer um modelo onde o CH é válido. Isso nos permite mostrar a consistência relativa de ZFC + CH, mas não prova CH.

5 NoahSchweber Aug 18 2020 at 15:15

Deixe-me adicionar alguns pontos às respostas existentes:

Em primeiro lugar, há um ponto-chave que não foi mencionado nas respostas existentes: é importante notar que nem sempre existem genéricos . Só temos existência garantida quando$M$é contável . Então a declaração

Cada $M\models\mathsf{ZFC}$ é um submodelo de alguns $N\models\mathsf{ZFC+CH}$

não é verdade - precisamos restringir a contagem $M$s. Na verdade, se$\mathsf{CH}$ é falso na realidade, então há algum $M$ sem extensão final satisfazendo $\mathsf{CH}$: ou seja, qualquer modelo contendo todos os reais.

Alguns comentários colaterais:

"Cada contável $M\models\mathsf{ZFC}$ é um submodelo de algum contável $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" é verdade - não precisamos que esses modelos contáveis sejam bem fundamentados! Isso não é óbvio, mas não é difícil de mostrar e é um bom exercício para" executar todas as recursões internamente ".
Nós podemos falar sobre forçando extensões de modelos arbitrárias (e de fato$V$em si!) por meio da abordagem de modelo com valor booleano para forçar. Esta é a abordagem adotada em Jech, por exemplo. No entanto, embora seja fascinante e importante, é também, em minha opinião, substancialmente menos intuitivo do que a abordagem poset.

Em segundo lugar, por valor pedagógico, deixe-me dar um exemplo onde a importância de $G\not\in M$ é mais flagrantemente óbvio, ou seja, o colapso de Levy $Col(\omega,\omega_1)$.

$Col(\omega,\omega_1)$ é a força mais simples para fazer $\omega_1$ contável: consiste em funções parciais finitas $\omega\rightarrow\omega_1$, ordenado por extensão reversa conforme o esperado. Uma vez que para cada$\alpha\in\omega_1$ o conjunto $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ é denso, um genérico $G$ (ou melhor, a união das condições em tal $G$) é uma surjeção de $\omega$ para $\omega_1$.

Mais precisamente, e restringindo-se a modelos transitivos contáveis para simplificar, temos:

E se $M$ é um modelo transitivo contável de $\mathsf{ZFC}$ e $G$ é $Col(\omega,\omega_1^M)$-genérico ao longo $M$ então $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.

Mas ao contrário $\mathsf{CH}$, é óbvio que não podemos ter um fenômeno "mesmo modelo": não há $M\models\mathsf{ZFC}$ de tal modo que $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Portanto, considerar este exemplo primeiro pode ajudá-lo a ver por que a força não pode implicar a verdade em geral.

Finalmente, deixe-me terminar com uma nota positiva. Apesar do exposto acima, não são algumas vezes quando o "forceability" de uma sentença implica a sua verdade sem rodeios: