Por que relacionamos funções e suas derivadas em Diff Eq?

Question

Entendo que uma equação diferencial possui uma função e sua derivada. Também entendo que resolvemos para uma função desconhecida.

Mas por que os colocamos em uma longa equação?

Meu entendimento básico é que fazemos isso para explicar "coisas" complexas que mudam com o tempo. No entanto, não consigo entender ou mesmo formular melhor do que isso.

Answer 1

Não o fazemos por opção. Observamos a natureza e notamos que as coisas são regidas por equações diferenciais. Suponha que você deixe a água sair de sua banheira. Inicialmente, a água sai muito rapidamente, pois a pressão é alta. Mas conforme o nível da água cai, a pressão também cai e a água sai mais devagar. A taxa de saída de água está relacionada ao estado de quanta água existe. Sempre que a taxa de algo está relacionada ao seu estado, você tem uma equação diferencial. Essa relação de 'taxa' e 'estado' é o motivo pelo qual tanto uma função quanto sua derivada ocorrem em uma equação.

Quanto mais você estudar as equações diferenciais, mais perceberá que elas estão literalmente em toda parte e ocorrem mais do que apenas em fenômenos que 'mudam com o tempo'.