Por quê ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, quando $\cal U$ é um $\delta$- Ultrafiltro fino completo em $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

O seguinte argumento aparece na prova do Teorema 4.7. no papel de Bagaria-Magidor Grupo radicais e cardeais fortemente compactos .

Deixei $\delta<\kappa$ ser incontáveis ​​cardeais que podem ser singulares e deixar $\alpha$ seja um ordinal tal que $\alpha\geq\kappa$. Suponha que exista um$\delta$- medida fina completa $\mathcal{U}$ em $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, Aquilo é um $\delta$- ultrafiltro completo $\mathcal{U}$ em $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ de tal modo que $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ para cada $a\in\alpha$. Deixei$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$ser a incorporação ultrapower correspondente. Desde a$\mathcal{U}$ é $\delta$-completo, então $Ult(V,\mathcal{U})$é bem fundamentado. Além disso, também por$\delta$-completude, o ponto crítico de $j_{\mathcal{U}}$ é maior que ou igual a $\delta$. Agora minha pergunta:

Por quê $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

Desde já, obrigado.

(Eu teria adicionado a tag ultrapower se existisse, mas não existe e não tenho reputação para criá-la).

Answer 1

Lembre-se disso $j_{\mathcal U}(\kappa)$ é (a imagem sob colapso transitivo de) a classe de equivalência no ultrapower da função constante $c$ com valor $\kappa$. Então, pelo teorema de Los, o que precisa ser provado é que$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ para $\mathcal U$-quase tudo $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. Isso é,$|a|<\kappa$ para quase todos $a$. Mas essa desigualdade é de fato verdadeira para todos$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, por definição de $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.