Probabilidade de Caminhada Aleatória - Partida de Tênis

Question

Você e um oponente estão jogando tênis - primeiro a pegar$2$vitórias consecutivas. A probabilidade de você ganhar é$0.6$. A probabilidade de ele ganhar é$0.4$. Qual é a probabilidade de você ganhar o jogo?

Acho que isso pode ser modelado como uma cadeia de Markov com 5 estados (2 perdas, 1 perda, 0 rede, 1 vitória, 2 vitórias). Portanto, acho que poderia escrever algumas equações para resolver isso. Alguém pode me dizer se isso faz sentido/se está errado?

P (você ganha logo de cara)$= (0.6)(0.6) = 0.36$

P (ele ganha logo de cara)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P(você venceu)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

Responda:

Caso 1: Você ganha dois jogos consecutivos$ = 0.36$

Caso 2: Você ganha um jogo e seu oponente perde um jogo$ = 0.24$

Caso 3: Você perde um jogo e seu oponente ganha um jogo$ = 0.24$

Caso 4: Você perde dois jogos consecutivos e seu oponente vence$ = 0.16$

Em ambos os casos 2 e 3, o jogo pode ser visto como empate e de volta à estaca zero. Assim a probabilidade de não ser vencedor é a soma do caso 2 e 3$= 0.48$

A probabilidade de você ganhar$= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

A probabilidade de seu oponente vencer$=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

Essa é uma maneira de simplificar o jogo e encontrar a solução, a menos que você conheça a maneira de resolver a Cadeia de Markov.