Problema em relação à definição de spinor

Question

Estou tentando construir um entendimento simples do que é um spinor, ao fazer isso, me deparei com duas definições diferentes de spinor:

Primeira definição:
Se$|\psi\rangle$ é um estado genérico de uma rotação $1/2$ partícula então pode ser decomposta da seguinte maneira: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ Onde $|+\rangle,|-\rangle$ são os autoestados do terceiro componente do spin ($S_z$), e $c_+,c_-$são números complexos. Também podemos escrever isso como: $$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$ e desta forma geralmente preferimos escrever $u$ no lugar de $|\psi\rangle$. Este vetor 2D que representa o estado da partícula é denominado spinor .

Segunda definição:
dada uma partícula de spin$1/2$ podemos escrever sua função de onda (por algum motivo) da seguinte maneira: $$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$ a função de onda da partícula , escrita desta forma, é chamada de spinor .

Estou procurando uma ponte entre essas duas definições, bem como uma maneira de remover o feio "por algum motivo" da segunda declaração. A respeito disso: em minhas notas de aula está presente o seguinte: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ esta etapa é adequada, pois é simplesmente uma aplicação do operador de identidade, mas então: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ mas de qualquer forma, se considerarmos (1) garantido, então temos:

$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$

Desde a $u_{s_z}$ é de fato o vetor 2D que é o autoestado do operador de spin.

Mas eu tenho um grande problema com relação à equação (1): Não entendo como podemos provar que o lado esquerdo é igual ao lado direito. Porque existe$Y(\theta , \phi)$? (onde o$Y$ são, naturalmente, os harmônicos esféricos, então as autofunções do momento angular) O que é $c^{s_z}_{l,m}(r)$ e porque é $r$dependente? Por que parece$u_{s_z}$?

Answer 1

A 1ª equação: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ é a forma genérica para qualquer estado puro em um sistema de dois níveis. O espaço de todos os pares normados de ($c_+$, $c_-$) são chamados de esfera de Bloch.

Sendo que se aplica a qualquer sistema de dois níveis, ele não elucida a natureza física de um espinor particularmente bem. Na verdade, em muitos cenários de ensino, isso pode levar à confusão. Isso ocorre por causa dos termos "aumento da rotação" e "redução da rotação". Isso leva os não iniciados a pensar que o spin está alinhado ou anti-alinhado com magnitude$\frac 1 2$ (em unidades de $\hbar$), Este não é o caso.

Uma partícula de spin 1/2 tem um momento angular de

$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$

e os autoestados permitem conhecer apenas a projeção em um único eixo, que é $\frac 1 2$. Isso significa que em um$S_z$ eigenstate, ainda há:

$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$

unidades de momento angular que é igualmente distribuído no $x-y$avião. Esse fato, juntamente com as relações de comutação:

$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$

e a capacidade de quantizar o spin em qualquer eixo são essenciais para a compreensão dos spinors.

Resumindo, você pode escrever os coeficientes como:

$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$

e, enquanto qualquer par de ($\theta,\phi$) representa uma superposição na base original, é um estado puro de spin up quando quantizado ao longo de um eixo apontando no ($\theta, \phi$) direção.

Então essa é a parte do spin de uma função de onda. Se você escrever a função de onda de spin como um vetor de coluna (suas 2ª equações) e combiná-la com uma função de onda espacial fatorada, você obtém: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Isso representa uma partícula, com uma função de onda espacial e um spin não emaranhado. No caso mais geral, os componentes de espaço e spin podem estar emaranhados, e isso requer suas 3ª equações:

$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$

Isso é necessário para sistemas como o experimento Stern-Gerlach.

Se olharmos para apenas um componente espacial da função de onda, por exemplo, $\psi_+(\vec x)$, está escrito aqui como uma função de um vetor, $\vec x$. Isso pode ser feito em coordenadas cartesianas:

$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$

outras coordenadas, ou, o que geralmente é mais útil quando o momento angular é conservado: as coordenadas esféricas. Nesse caso, a parte angular é capturada em harmônicos esféricos, de acordo com a projeção padrão em sua 5ª equação:

$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$

o que vemos com esta equação é que o momento angular orbital ($(l,m)$) acoplar a cada estado de spin (de acordo com as regras usuais de adição de momento angular). Observe que os estados próprios dos números quânticos do momento angular total ($J^2, J_z$) misturar diferente $(l, m)$ com spin para cima e para baixo, conforme capturado pelo $c^{\pm}_{lm}$. Isso é material Clebsch-Gordan padrão, por exemplo:

$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$

Isso representa o emaranhamento das coordenadas de spin e angulares, de modo que os números quânticos do momento angular total são bons.

Quando se vê isso, digamos, no átomo de hidrogênio, a função de onda radial é inteiramente fatorada. Sua equação final, no entanto, permite dependência radial no$c^{\pm}_{lm}(r)$. Isso introduz o emaranhamento espacial entre o spin e a coordenada espacial na direção radial. (Não consigo pensar em um sistema de improviso onde isso surge ... já que, se você estiver usando harmônicos esféricos, o problema deve ser separável em coordenadas esféricas). No entanto, é a função de onda spinor mais geral em coordenadas esféricas.

Adendo: Observe que o $\theta$ e $\phi$ dependência do RHS de (1) está diretamente relacionada a $\vec x$no LHS. Aqui vou eu$\vec r$ para um vetor de posição 3D, como $\vec x$ vai causar confusão:

Em coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ e a base cartesiana:

$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$

que é, em coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$ e a base cartesiana:

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$

Agora podemos mudar dos vetores de base cartesiana para vetores de base esférica (vetores de base esférica são os 3 autovetores de rotações sobre o eixo z, eles não são os vetores de base de coordenadas esféricas ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, e entendê-los é muito útil para entender os operadores de spin e tensores, etc):

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

que pode ser reorganizado:

$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

observe que os coeficientes angulares são os $l=1$ harmônicos esféricos:

$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$

Essa fórmula pode levar algum tempo para se acostumar. Na base esférica, os harmônicos esféricos são as coordenadas. É estranho, como uma função pode ser uma coordenada? Bem, olhe para$Y_1^0(\theta,\phi)$. Na esfera unitária, é $z$. Bem$z$ é uma função (é um polinômio), e assim são $x$ e $y$. Portanto, usamos coeficientes polinomiais na representação cartesiana direta, apenas não costumamos pensar neles como tal, pensamos neles como números rotulados.