Profissional discreto. distribuição: binomial
Sabemos que, para uma distribuição binomial, quando queremos saber quantos resultados de um evento ocorreram em vez de usar um diagrama de árvore, podemos usar seleções ou combinações. Por exemplo, deixe uma variável aleatória X representar o número de caras depois que uma moeda é lançada três vezes e queremos saber o problema. de cabeças saindo uma vez.
Diríamos, Pr(X=1)= 3C1 vezes ... prob. de tempos de sucesso prob. de falha.
Porque sabemos que existem três maneiras pelas quais podemos escolher uma cabeça. Do diagrama de árvore: HNN, NNH, NHN. H= cara, N= sem cara.
Minha pergunta é por que é correto usar combinações quando está claro que não usamos combinações para coisas em que a ordem é importante. Aqui podemos ver que, como esses HNN, NNH, NHN são coisas diferentes contendo o mesmo elemento de uma cabeça e duas cabeças, fica claro que a ordem importa. Por que não podemos usar permutações?
Respostas
Permutações contam arranjos de objetos distintos . Os elementos de uma sequência de caras e coroas não podem ser distintos se a sequência tiver comprimento maior que dois.
Por exemplo, o número de permutações das letras da palavra COUNT, que tem cinco letras distintas, é$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$e o número de permutações de três letras das letras da palavra COUNT é$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Por outro lado, o número de permutações distinguíveis das letras da palavra DISTRIBUIÇÃO, nas quais nem todas as letras são distintas, é$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$já que devemos escolher três das doze posições para os Is, duas das sete posições restantes para os Ts, e então organizar as sete letras distintas D, S, R, B, U, O, N nas sete posições restantes. O fator de$3!$no denominador representa o número de maneiras pelas quais poderíamos permutar os Is entre si dentro de um determinado arranjo sem produzir um arranjo que seja distinguível do arranjo dado; o fator de$2!$no denominador representa o número de maneiras pelas quais poderíamos permutar os Ts entre si dentro de um determinado arranjo sem produzir um arranjo que seja distinguível do arranjo dado.
No seu exemplo, usamos combinações, pois uma sequência de caras e coroas é completamente determinada pela seleção das posições das caras, pois as posições restantes da sequência devem ser preenchidas por coroas.
Em geral, em um problema de distribuição binomial, definimos um dos resultados como um sucesso e os outros resultados como falhas. A probabilidade de obter exatamente$k$sucessos em$n$tentativas, cada uma com probabilidade$p$de sucesso é$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$Onde$p^k$é a probabilidade de$k$sucessos,$(1 - p)^{n - k}$é a probabilidade de$n - k$falhas, e$\binom{n}{k}$conta o número de maneiras que essas$k$sucessos podem ocorrer em$n$ensaios. Observe que escolher qual$k$do$n$tentativas são sucessos determina completamente os resultados se houver exatamente$k$sucessos desde o restante$n - k$tentativas devem resultar em falhas.