Prova de que se a diferença de termos de duas sequências convergentes for nula, então o limite das sequências são iguais

Question

Proposição: Dado que as sequências reais $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ são convergentes, e que $\{a_n - b_n \}$ é uma sequência nula, então $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Esta foi minha tentativa:

Denotar $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ e $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Suponha$m \neq n$. Suponha$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Pela convergência de$\{a_n\}$ e $\{b_n\}$, e usando o valor especificado de épsilon, para suficientemente grande $n$ nós temos isso $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$e $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. A partir disso temos

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Mas pela densidade de $\mathbb{R}$, existe algum $r \in \mathbb{R}$ de tal modo que $a_n - b_n > r$ para suficientemente grande $n$. Mas isso contradiz o fato de que$\{a_n - b_n\}$ é uma sequência nula, portanto $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Estou interessado em ver se há uma prova (e esperançosamente também a verificação de que a minha está correta!) Que não dependa da dedução de uma contradição de assumir $l \neq m$. Isso frustrantemente parece uma daquelas afirmações "óbvias" que, quando escrevo na lógica de primeira ordem, tenho dificuldade em provar. Em particular, não consegui descobrir uma maneira de fazer isso diretamente.

Answer 1

Provar por contradição é realmente a abordagem mais natural aqui. A intuição é simples: se as sequências têm limites diferentes, elas eventualmente devem estar próximas desses limites e, portanto, não podem estar próximas umas das outras.

Isso pode ser feito um pouco mais facilmente, no entanto. Deixei$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Há um$n_0\in\Bbb N$ de tal modo que $|a_n-\ell|<\epsilon$ e $|b_n-m|<\epsilon$ sempre que $n\ge n_0$. Mas então

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

para todos $n\ge n_0$, assim

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

para todos $n\ge n_0$, contradizendo a suposição de que $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ é uma sequência nula.

Seu argumento tem alguns problemas. Primeiro, você parece estar assumindo que$\ell>m$; não há perda real de generalidade se você fizer essa suposição, mas você precisa pelo menos dizer que está fazendo isso. Você também está aparentemente assumindo no final que$a_n-b_n$é positivo, o que não precisa ser o caso. Por fim, e mais importante, você não deu realmente nenhuma justificativa para a afirmação de que existe um verdadeiro$r$ de tal modo que $a_n-b_n>r$ para suficientemente grande $n$: isso realmente é verdade para $|a_n-b_n|$ e alguns positivos $r$, mas isso não tem nada a ver com a densidade de $\Bbb R$.