“Prova” de que zero é igual a um subtraindo infinitamente os números

Question

Recentemente, encontrei uma "prova" de que $0=1$. É assim que funciona:

Deixei $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Desde a$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Agora, colocamos o$1-1-1-1-1-1-\cdots$ em ambos os lados e nós temos $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. Então, nós temos$1-x=0-x$. Então,$1-x+x=0-x+x$. Conseqüentemente,$1+0=0+0$ e entao $1=0$.

Não consegui descobrir o que havia de errado nessa prova. O resultado claramente não é verdadeiro, mas a prova parece ser verdadeira. Então perguntei a algumas pessoas e todas não conseguiram descobrir o que deu errado. Alguém pode vir por favor me ajudar a identificar o que deu errado? Obrigado.

Answer 1

As chamadas somas infinitas em matemática têm definição formal como série e são baseadas no conceito de soma parcial :$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ Onde $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ é uma soma parcial.

Agora vamos ao seu exemplo: se você considerar $1-1-1-1-1-1-1-...$, então devemos construir uma soma parcial para isso $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ Como você vê, a soma parcial não tem limite finito, o que significa que a expressão $1-1-1-1-1-1-1-...$ não é um número finito e não pode ser usado como tal.

Um exemplo engraçado de tal "prova" pode ser obtido se você considerar a expressão $1-1+1-1+1-1+1-...$ e não investigue a convergência: $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$

Answer 2

Ao escrever uma série infinita, você deve primeiro verificar se ela converge. Caso contrário, os procedimentos normais como o bracketing não funcionam mais.

Por exemplo, aqui está uma prova semelhante (falsa) de que todos os inteiros são $0$: Deixei $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. Para qualquer inteiro$n > 0$, coloque o primeiro entre colchetes $n$ termos para que $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. Conseqüentemente$n=0$.

Answer 3

Deixei $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$

Desde a $1−1=0$

$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.

Agora, colocamos o $1-1-1-1-1-1-\cdots$ em ambos os lados e nós temos

--> $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. <--

Aqui está o erro. Ter um sinal de menos antes dos colchetes anula tudo dentro.

Então realmente se torna:

$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$

E não acho que seja uma operação matemática válida riscar $\infty$ em ambos os lados, como $\infty$ é apenas um espaço reservado para um número muito grande (não um número grande concreto, então $\infty_{left} \ne \infty_{right}$)

Answer 4

Deixando as questões de convergência de lado, observe que a subtração não é associativa.

Com apenas uma expressão de três termos do mesmo tipo:

$(1-1)-1=-1$e

$1-(1-1)=1$

Acabei de provar $1 = -1$???