Prova por indução - isso é correto?

Question

Prova por indução de que: Para todos $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ é um múltiplo de $3$.

Acho que fui muito longe mas não sei se está correto / como devo continuar. Meu trabalho:

Caso base: mostre que $n=1$ detém: $7^2 + 2^3 = 57$ e $3|57$ tão $n=1$ detém.

Assuma isso $n=k$ detém: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.

Provar que $n=k+1$ detém: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$

Eu reorganizei isso para que fique da mesma forma que $n=k$ e pegou $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.

Em seguida, simplifiquei e reorganizei isso para $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.

Tirando um múltiplo de $4$ dá $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ e desde $(7^{2k} +2^{2k+1})$ é um múltiplo de $3$, Eu deixo igualar $3m$ então é $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.

Finalmente, tirei um múltiplo de $3$ para obter $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ que é um múltiplo de $3$, portanto, a afirmação é válida por indução.

Minha prova está completamente correta? Havia uma maneira mais fácil de fazer isso?

Answer 1

Sua prova está correta, mas muito prolixa. Por que não apenas escrever $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ e você está pronto.

Answer 2

Já que você pediu uma maneira mais fácil (e presumindo que deve usar indução), considere o uso de aritmética modular:

Para o caso básico de $n=1$ temos $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$

Então $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ por hipótese.

Embora, isso seja um pouco artificial, pois neste caso o mesmo pode ser feito sem a necessidade de verificar o caso base separadamente.