Provando a desigualdade de Hölder condicional usando distribuição condicional regular
Estou tentando provar a desigualdade de Hölder condicional usando distribuições condicionais regulares. A desigualdade que estou tentando provar é:
Para $p,q \in (1,\infty)$ com $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, e para $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ e $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, e para $\mathcal F \subset \mathcal A$ um sub-$\sigma$-álgebra, quase com certeza temos $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
Encontrei muitas provas desse fato, mas estou tentando prová-lo especificamente usando um teorema de distribuições condicionais regulares:
Deixei $X$ ser uma variável aleatória em $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ com valores em um espaço Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ é um sub-$\sigma$-álgebra e $\kappa_{X,\mathcal F}$ uma distribuição condicional regular de $X$ dado $\mathcal F$. Além disso, vamos$f : E \to \mathbb R$ ser mensurável e $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Então,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$
A aplicação da desigualdade de Young, monotonicidade e linearidade da expectativa condicional me dá $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$mas estou tendo problemas para sair daqui para a desigualdade desejada. Alternativamente, a desigualdade de Hölder padrão nos dá$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, então o resultado acima também implica $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Mas ambas as abordagens me levaram a argumentos circulares ou usando medidas que eu não acho que existam formalmente (como $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ para um fixo $\omega\in\Omega$) Alguma sugestão ou outros lugares para procurar?
Respostas
Deixei $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ sejam as projeções $\pi_1(x,y) = x$ e $\pi_2(x,y) = y$. Depois de mostrar$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ pelo resultado citado em distribuições condicionais regulares, que é finito para ae $\omega\in\Omega$. então$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, e da mesma forma $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, por ae $\omega\in\Omega$. Portanto, \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {pelo resultado citado em distribuições condicionais regulares;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {pelo Desigualdade de Hölder padrão aplicada a} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {pelo resultado citado e usando as propriedades de medida de imagem de$\kappa_{X,\mathcal F}$ e $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}
Que tal começar com $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
E se $Z$ é $\mathcal F$ mensurável, então $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
Para evitar problemas de zero e infinito, primeiro aplique-o a $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, e da mesma forma para $Y$e então deixe $\epsilon \to 0+$, e $N \to \infty$.
Claro, quando você faz a desigualdade de Young no início, a introdução da distribuição condicional regular é uma etapa extra que não serve para nada.
Novamente, não estou respondendo à sua pergunta. Mas isso é muito grande para os comentários.
Ao provar a desigualdade de titular padrão, na verdade usamos a desigualdade de Young desta forma: para qualquer $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ de onde você obtém $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Então você usa: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Isso é apenas colocar as condições para a igualdade na desigualdade de Young.) Ao provar a forma condicional da desigualdade de Holder, o ínfimo será assumido $\lambda$ um positivo $\mathcal F$-função mensurável.
Mas o que isso quer dizer é que se você quiser usar distribuições regulares condicionais, você realmente deveria usar a forma de desigualdade de Young que escrevi acima.