Provar que $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [duplicado]

Question

Estou tentando provar para fins de algoritmo que dado $a,b,n$ inteiros positivos: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ Tentei por indução e obtive a etapa da seguinte maneira: $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ Eu tentei usar a expansão binomial $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ e, em seguida, excluindo o último elemento $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ Supondo que tudo esteja correto até agora, não sei como proceder a partir daí para obter $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$

Minha segunda tentativa foi fazer a etapa da seguinte maneira: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ Agora não sei como eliminar $a^nb+b^na$, e para prosseguir para $2^n$

Existe outra maneira de provar isso? Ou alguma dica para continuar meu passo?

Answer 1

Da desigualdade de rearranjo, temos o seguinte: $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$

que é exatamente o que você quer