Provar que $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
Eu encontrei um problema interessante sobre séries hipergeométricas generalizadas em MO, afirmando que:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
Isso concorda numericamente, mas não encontrei nenhuma prova usando propriedades elementares de funções hipergeométricas (por exemplo, soma cíclica) ou fórmulas Gamma clássicas (por exemplo, fórmula de Dougall). Aposto que tem algo a ver com formas modulares e elípticas$K$ integral, mas a relação exata permanece indefinida.
Como provar essa identidade ? Qual será sua motivação? Podemos gerar outra avaliação Gamma de séries hipergeométricas de alta ordem usando o método de comprovação? Qualquer ajuda será apreciada.
Respostas
Deixei $S$ seja o dado $_4F_3$, então (a primeira igualdade vem da integração de termos), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
É facilmente visto $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ é o valor do $_3F_2$ em $a=0$( Dixon ). Conjunto $$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
Por regra de cadeia multivariável, $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
Em geral, derivado de $_pF_q$em relação a um parâmetro é intratável. Só podemos lidar com eles de maneira ad hoc . Em nossa situação, é sabido que$_3F_2$ em $1$satisfaz certas transformações: dois geradores são a primeira e a terceira entrada aqui . Usando essas duas entradas, obtemos $$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
Observe que para todos os quatro $_3F_2$ acima, seus argumentos são todos como $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, a única diferença é $a$aparece em lugares diferentes. Isso revela o porquê$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ é especial.
Apresente uma definição operacional: escrever $x\equiv y$ E se $x-y$é uma "combinação linear de fatores gama". Por exemplo,$x\equiv y$ E se $x-y = A$. Agora pegue a derivada em$a=0$, nós obtemos $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ Resolver este sistema dá $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
portanto $d_{1/3}+d_{4/3}$ pode ser expresso na função gama, então pode $S$ de acordo com $(*)$.
Não há dificuldade em fazer $(**)$ explícito: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
Resolvendo dá $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. Também obtemos valores de$d_1, d_{2/3}$ como subprodutos.
Uau, incrível! Resolvido 9 anos depois! Obrigado a todos por desenterrar isso e, em seguida, por resolvê-lo. Isso pode dar uma forma geral para
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
Eu provavelmente deveria dar algumas motivações para isso. No artigo a seguir, olhei para o tempo de saída esperado de um movimento browniano planar começando em 0 de um$m$-gon centrado em 0:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
É (até uma constante que depende do tamanho do polígono)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
o que não sai exatamente da língua. No entanto, para um triângulo equilátero, há um método diferente para calcular isso, e dá$1/6$. Portanto, obtemos uma identidade ao igualar os dois, e essa é a identidade. Agora, a questão é: podemos usar este método para obter uma expressão mais agradável para o$_4F_3$ para maior $m$? Esta seria uma expressão mais agradável para o tempo de saída esperado do movimento browniano do$m$-gon.
Uma versão puramente analítica (ou seja, não probabilística) de tudo isso pode ser encontrada aqui, porque o tempo de saída esperado é basicamente a norma Hardy H ^ 2 do domínio, até uma constante.