Provar que um determinado subconjunto é um subcomplex CW

Question

Estou tendo alguns problemas com um detalhe em uma prova da Topologia Algébrica de Hatcher (Prop. A.1 na p. 520 para os interessados, embora eu não ache que seja relevante): Temos um complexo CW$X$ e um $n$-célula $e_\alpha^n \subset X$, e a imagem do mapa anexado desta célula está contida em um subcomplexo finito $A \subset X$. Hatcher afirma que$A \cup e_\alpha^n$é um subcomplexo finito, mas estou tendo problemas para entender por quê. Estou tentando mostrar que a fronteira de$e_\alpha^n$ está contido em $A$mas não estou chegando a lugar nenhum. É verdade em geral que o fechamento de um$n$-célula é sua união com a imagem de seu mapa anexo?

EDIT: Eu gostaria de provar isso sem invocar o fato de que os complexos CW são Hausdorff, uma vez que o livro não provou isso ainda.

Answer 1

É extremamente, extremamente fácil mostrar que um complexo CW é Hausdorff, inclua-o em sua prova se você estiver preocupado com isso.

Com este fato, o fechamento de uma célula aberta $e \rightarrow X$ é a imagem de $e \cup S^n \rightarrow X$dado pela inclusão da célula aberta e do mapa característico na fronteira. Isto é porque$e \cup S^n = D^{n+1}$é compacta, e a imagem de um conjunto compacto é compacta o que em um espaço de Hausdorff implica em fechado. Este é o menor conjunto fechado contendo a imagem de$e$ uma vez que qualquer ponto na imagem do mapa característico está no limite da imagem de $e$.