Prove aquele perímetro do triângulo $MNC$ é igual a meio perímetro do triângulo $ABC$

Question

Dentro $ABC$ Triângulo Equilátero. $K$ é o ponto médio de $AB$. $M$ e $N$ deitar $AC$ e $BC$respectivamente. E se$\angle MKN=60°$, então prove aquele perímetro de $\triangle MNC$ é igual a meio perímetro de $\triangle ABC$.

Answer 1

Primeiro olhe para a imagem à esquerda.

Espelho $N$ em relação a $CK$, Deixe ser $N'$. Nós notamos que$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Portanto$MKNN'$são co-cíclicos. Portanto$\triangle MKN$imagem espelhada em relação a $CK$ compartilha o mesmo circulo com $\triangle MKN$. Portanto, o centro de$\triangle MKN$circuncírculo de está em $CK$.

Agora desenhe os bissectores do ângulo de $\angle CMN, \angle CNM$ e deixá-los se encontrar em $I$. Obviamente$I$ encontra-se na terceira bissetriz $CK$. Desde a$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$são co-cíclicos. Além disso, combinando com o resultado do parágrafo anterior, sabemos$IK$é o diâmetro desse círculo. Portanto$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

Conseqüentemente $MK$ corta o ângulo externo $\angle AMN$ e $NK$ corta o ângulo externo $\angle BNM$.

Agora olhe para a imagem certa. Desenhe o círculo tangente a$AM,MN,NB$ e deixe seu centro ser $O$. Vamos notar que$MO$ irá dividir o ângulo $AMN$ e $NO$ irá dividir o ângulo $BNM$ então $O$ e $K$ são essencialmente o mesmo ponto.

Agora é fácil ver o perímetro de $\triangle CMN$ é o mesmo que $CP+CQ$, que é a metade do perímetro de $\triangle ABC$. (Porque$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ e também $BQ$)

Answer 2

Acho que resolvi o problema galera!

Vamos apontar $P$ ao lado $BC$ Onde $\angle NKP=60°$. Então tome o ponto$T$ na linha PK onde $PK=KT$. Triângulos$BKP$ e $ATK$são congruentes. então$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Notar que$AMKT$é um circumcircle. então$\angle TAK=\angle TMK$. portanto$TMK$ é um triângulo equilátero.

Agora podemos ter certeza de que os triângulos $MKN$ e $NKP$são congruentes. então$MN=NK$. Pelo teorema de Ptolomeu, obtemos que$AM+AT=AK$. Além disso, não se esqueça disso$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.