Prove isso para todos $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$
$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$
Para ser honesto, não consigo realmente começar,
Gostaria de pedir a todos que me dessem uma ideia de como resolver isso, me dêem um empurrãozinho, obrigado.
Respostas
nós reescrevemos a soma assim;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$
este é apenas o coeficiente de $x^{n-1}$ em expansão $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$
Reconheça isso como um GP: portanto, buscamos o coeficiente de $x^{n-1}$ no $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$
ou $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ O coeficiente é $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$
A propósito, o produto que está sendo somado se parece com o PMF da distribuição binomial negativa , que lançar uma moeda justa repetidamente até ter$n$ cabeças há $\frac 12$ probabilidade de que houvesse no máximo $n-1$ caudas antes do $n$ª cabeça.
Deixei $\Pr(A)$ ser a probabilidade de que houvesse no máximo $n-1$ caudas antes do $n$ª cabeça.
Então $1-\Pr(A)$ seria a probabilidade de que o $n$a cauda aparece enquanto havia no máximo $n-1$ cabeças.
Para uma moeda justa, a cabeça e a cauda são simétricas, e assim
$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$