Prove o Lema de Euclides geral em um UFD usando fatoração de primos

Question

Eu vi muitas provas para este teorema: Em um UFD se $(a,b)=1$ e $a|bc$ então $a|c$. Eles usam principalmente a lei distributiva do MDC, por exemplo, aqui . Bem, eu queria provar isso apenas contando com as propriedades que o UFD tinha.

Minha tentativa: desde $a|bc$ então para alguns $r$ temos $ar=bc$. Agora pela existência, já que sabemos que qualquer elemento não unitário como$a$ pode ser reescrito como $t_1×....t_n$ Onde $t_i$ são irredutíveis, podemos fazer isso:

$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Onde $p_i$, $g_i$, $q_i$ e $h_i$são primos.) Por exclusividade, o conjunto que está à direita também deve estar à esquerda. Estou certo? Mas desde$(a,b)=1$ então $a$ e $b$não deve compartilhar elementos primários. De alguma forma é como$A$ é um subconjunto de $C$. Eu realmente não consigo controlar isso, mas está se tornando um problema na teoria dos conjuntos.

Você pode me ajudar com minha própria abordagem?

Answer 1

Você está muito perto. Vamos olhar novamente para esta equação que você afirmou: '

$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$

correspondendo a $ar=bc$. Como você disse, por estarmos em um UFD o conjunto de primos, contados com multiplicidade, é o mesmo em ambos os lados (até unidades). Além disso, como$(a,b)=1$ então não $p_i$ pode dividir $b$. Mais uma vez, por exclusividade, isso significa que não$p_i$ pode dividir $q_j$. Na verdade, podemos ir mais longe e dizer que não$p_i^{\alpha_i}$ pode dividir $q_j$. Juntando isso, todos os$p_i^{\alpha_i}$deve aparecer na fatoração do lado direito (até unidades). Além disso, o$p_i^{\alpha_i}$ não pode dividir o $q_j$. Assim, até unidades, o$p_i^{\alpha_i}$ cada um deve dividir algum $h_j^{\psi_j}$. Portanto, todos os fatores principais de$a$ contado com divisão de multiplicidade $c$. Conseqüentemente,$a \mid c$.

Answer 2

Possui prova natural por indução sobre o número $\:\!k\:\!$ dos fatores principais de $\,a,\,$usando como passo indutivo o Lema de Euclides (se um primo divide um produto, então ele divide algum fator). E se$\,k=0\,$ então $\,a\,$ é uma unidade então $\,a\mid c.\,$ Outro $\,a = p\bar a\,$ para um primo $\,p\,$ assim $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ ou $\,p\mid c,\,$ assim $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ de $\,(p,b)=1\,$ de $\,(p\bar a,b)=1$. Cancelando$\,p\,$ a partir de $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ e $\,(\bar a,b)=1\,$ de $\,(p\bar a,b)=1.\,$ Aviso prévio $\,\bar a\,$tem menos fatores primos do que$\,a=p\bar a,\,$ portanto $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (ie $\,a\mid c),\,$ por indução.

Exercício $ $Torne explícitos todos os usos implícitos da existência e exclusividade das fatorações primárias que são empregadas na prova (necessário para ser completamente rigoroso).