Prove que a seguinte função é Riemann Integrable

Aug 19 2020

Deixei $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ser definido por \ begin {equation *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {caso contrário} \ end {casos} \ end {equação *} Prove que$f$ é Riemann Integrable.

Eu sei que isso pode ser provado pelo fato de que esta função $f$ é descontínuo apenas em muitos pontos contáveis $\frac{1}{n}$, por isso é Riemann Integrable.

Eu quero ver o procedimento que envolve encontrar $L(P,f)$ e $U(P,f)$ Onde $P$ alguma partição foi tomada? $[0,1]$. Não posso provar que é Riemann Integrable usando este procedimento. Alguém pode me ajudar? Desde já, obrigado.

Respostas

2 RRL Aug 19 2020 at 00:53

É fácil mostrar que $L(P,f) = 0$ para qualquer partição.

Levar $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (Onde $n$ é grande) e uma partição que inclui os subintervalos

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ e mostre isso $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Para qualquer $\epsilon > 0$ nós podemos escolher $n$ de tal modo que $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ e o critério de Riemann é satisfeito.