Prove que se$a+b$é um número irracional, então pelo menos um de$a$ou$b$é irracional.
Me deparei com essa questão em um livro. Tentei provar a condição da seguinte forma: suponha que a e b sejam racionais. claramente a soma de$a$e$b$é racional, o que contradiz a condição, que é que$a+b$é irracional. Portanto, pelo menos um de a ou b é irracional.
Tenho a sensação de que algo está errado aí. Sinto que usar a prova contrapositiva aqui poderia ser melhor, mas não tenho certeza porque sou novo no mundo das provas.
Respostas
A afirmação que você está tentando provar é$\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Esta é simplesmente a tradução simbólica da afirmação "para cada$a,b$, E se$a+b$é irracional, então pelo menos um dos$a$ou$b$é irracional".
Aqui, a declaração$X$é "$a+b\notin \Bbb{Q}$", e a declaração$Y$é "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Portanto, a contrapositiva de "para cada$a,b$($X \implies Y$)" é "para cada$a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", que neste caso é:
Para cada$a,b$temos ($a\in \Bbb{Q}$e$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
e é isso que você argumentou.
Quero abordar o seu comentário "Não vejo como o contrapositivo funciona aqui".
Deixar$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$(conjunto dos números irracionais).
Você quer mostrar que
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
Antes de mudar para a contrapositiva, note que para$a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
Agora, a contrapositiva se torna
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$que, à luz da observação acima, é$$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
que é uma propriedade definidora de$\mathbb{Q}$.
Lembre-se também que$\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.