Prove que se $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ e $~\sum c_n=C$ [duplicado]

Question

Deixei $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ser sequências. Definir$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Prove que se $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ e $~\sum c_n=C~$ (então todas são séries convergentes) então $C=AB$. (Observe que não precisamos$\sum a_n$ para ser absolutamente convergente).

Olá a todos. Não estou certo de como começar esse problema. Não quero a resposta, apenas uma dica de como começar.

Answer 1

Lamento ter entendido mal a pergunta anteriormente. O que você está procurando provavelmente é isto , que diz:

Deixei $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ são séries complexas condicionalmente convergentes, $\sum c_{n}$ é o produto Cauchy de $\sum a_n$, $\sum b_n$ de tal modo que $\sum c_n$converge. Então,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Para uma prova completa, consulte o mesmo link acima.

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EDIT: Atualizado os links. Desculpe pelo transtorno.