Quais são as matrizes no POVM para medir o primeiro $m$ qubits?

Question

Suponha que você tenha um estado quântico $|w\rangle$ consiste em $m + n$ qubits, e você configura uma medida que mede o primeiro $m$qubits na base padrão. Quais são as matrizes no POVM correspondente?

Answer 1

Bem, uma vez que essas são medidas projetivas no subespaço do primeiro $m$ qubits, podemos apenas listar todos os projetores na base computacional deste primeiro subespaço e 'preenchê-los' com $I$está no segundo subespaço:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ o que dá exatamente $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$diferentes operadores para o POVM. Se você identificar resultados de medição distintos com cada operador, digamos$\lambda_{j} = j_{d}$ (por exemplo: $j$ na forma decimal), você também pode escrever facilmente um operador de medição:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

Veja também, por exemplo, esta bela resposta de Daftwullie para um operador de medição diferente. Observe que essa resposta omite o subespaço extra de$n$, mas você pode tratar isso preenchendo com $I$de novo.