Qual 2D PDE com uma solução exata posso usar para testar / verificar meu código FEM-PDE?

Question

Eu criei um programa para resolver PDEs 2D dependentes do tempo com o método dos elementos finitos e obter resultados de aparência razoável para a equação de onda acústica 2D. Agora, gostaria de ir mais longe e resolver um PDE com uma solução exata / analítica conhecida para comparação. No entanto, tenho muita dificuldade em encontrar uma equação adequada. Parece que não existem equações 2D dependentes do tempo com uma solução analítica que não envolva somas infinitas ou algo semelhante. Pensei em pegar uma equação 1D e estendê-la para duas dimensões apenas resolvendo-a em um domínio 2D sem mudar nada, na verdade replicando a equação ao longo do eixo y. No entanto, as condições de contorno parecem bagunçar as coisas e essas equações 1D funcionam em domínios infinitos, ou seja, todo o eixo real.

Existe tal equação para eu usar? Existe uma maneira diferente estabelecida de testar a exatidão de uma implementação do solver PDE?

Answer 1

Como o comentário de Maxim aponta, você deve ser capaz de criar qualquer solução que desejar, acioná-la através do PDE contínuo original, gerar uma função de força, condições de contorno (dependentes do tempo) e condição inicial, conecte-as em seu programa, execute-o e compare a resposta obtida com a função com a qual começou. Isso é conhecido como Método de Soluções Fabricadas , e é uma forma muito eficaz de estabelecer a qualidade das soluções do seu programa. É também uma ótima maneira de fazer estudos de refinamento de malha e intervalo de tempo que podem atender às suas necessidades ou às de um revisor.