Qual é a curvatura média de um cilindro infinitamente longo?
Alguém pode me ajudar a entender como posso calcular a curvatura média de um cilindro de raio infinitamente longo$R$? Conheço a definição de curvatura média como
$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$
Onde$\kappa_i$é o$i$ª curvatura principal. Como o cilindro é infinitamente longo, acho que$\kappa_2 = 0$(ao longo do eixo). Alguém pode confirmar isso?
Então a curvatura média de um cilindro infinitamente longo com raio$R$seria simplesmente
$H = \frac{1}{2R}$
Obrigado pela ajuda!
Respostas
Seu resultado está correto.
Escolha um ponto na superfície cilíndrica. Você deve se convencer de que uma direção principal é perpendicular ao eixo do cilindro (mas começando do seu ponto na superfície). Ao longo desta direção, a superfície se parece com um círculo com raio$R$, então a curvatura principal para esta direção é$\kappa_1=\frac1R$. A outra direção principal é paralela ao eixo do cilindro e, ao longo dessa direção, as superfícies parecem (localmente próximas ao seu ponto) uma linha reta, então$\kappa_2=0$. Então da fórmula$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$você obtém a curvatura média que mencionou.
Como TonyK diz, isso é o mesmo para qualquer ponto que você escolher. Então, se você considera$H$como uma função, mapeando cada ponto na superfície para um número real, então$H$é constante, para a superfície cilíndrica.
Como vemos, a curvatura média é uma propriedade local , então não importa se o cilindro é infinitamente longo ou não; contanto que haja uma vizinhança em torno do ponto que você considera, onde a superfície é um cilindro, a curvatura média nesse ponto é$\frac1{2R}$.