Qual é a história do termo 'co-domínio'?
Gostaria de saber se alguém sabe mais sobre a história do termo 'co-domínio' no que se refere a funções.
Duas fontes que encontrei:
Russell e Whitehead, Principia Mathematica, 1915, página 34:
a classe de todos os termos com os quais algo ou outro tem relação $R$é chamado de domínio inverso de$R$; é o mesmo que o domínio do inverso de$R$.
Cassius Keyser, Mathematical Philosophy, 1922, página 168:
Uma relação $R$tem o que é chamado de domínio , - a classe de todos os termos de tal forma que cada um deles tem relação com uma coisa ou outra, - e também um codomínio - a classe de todos os termos tais que, dado qualquer um deles, algo tem a relação com ele.
Parece-me que quando Keyser fala sobre um 'codomínio', ele está falando sobre a mesma coisa que o 'domínio inverso' de Russell e Whitehead. Então, parece que passamos de 'domínio inverso' para 'codomain' .... para 'co-domínio'? Isso parece fazer sentido.
Além disso, ambos os textos falam sobre relações, não funções. Mas, uma função é, obviamente, um tipo especial de relação. Então ... ainda faz sentido.
Contudo! (e é realmente por isso que estou fazendo esta pergunta): a forma como esses dois textos falam sobre o 'domínio inverso' e 'codomínio' é (quando aplicado a funções) o que hoje em dia chamamos de 'intervalo' ou 'imagem' do função, e não o que hoje em dia chamamos de 'co-domínio'.
Exemplo concreto:
Assumir uma função $f$ cujo domínio é definido como $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, cujo co-domínio é definido como $\mathbb{R}$, e cujo mapeamento é definido como $f(x) =1/x$.
Para esta função, o intervalo ou imagem é $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, e é isso que (novamente, se virmos essa função como uma relação) Russell & Whitehead consideraria seu 'domínio inverso', o que Keyser chamaria de 'codomínio'.
Mas o 'co-domínio' desta função foi definido como $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Então, acho que houve uma mudança no uso do termo ... Ou seja, parece que temos:
'domínio inverso' -> 'codomain' -> 'intervalo'
... enquanto 'co-domínio' é algo diferente!
Isso é estranho! O que aconteceu? Alguém tem alguma ideia disso?
Respostas
É um reconhecimento precoce da dualidade na teoria dos conjuntos. Domínio vs Codomain sugere uma relação que está faltando no domínio e no intervalo.
Isso está oculto na teoria dos conjuntos, pois as funções são tendenciosas, pois não são definidas simetricamente. Tampouco é fácil conceituar funções de um para muitas funções naturalmente e funções duplamente de muitos para um, o que ocorre naturalmente.
Isso é fixado na teoria das categorias, onde a dualidade é explicitada, em vez de na maneira secreta e furtiva como é feita na teoria dos conjuntos. Além disso, a teoria das categorias é a conceitualização correta de covariância como na noção de covariância geral que Einstein usou heuristicamente em suas investigações sobre o caráter geral da lei física.
Curiosamente, uma das principais descobertas da teoria das cordas é o papel que as dualidades desempenham na física. (Na física comum, vemos a dualidade se manifestar na dualidade entre os campos elétrico e magnético). Não me surpreenderia se, no fundo, isso tivesse a mesma raiz que dualidades na teoria das categorias.