Qual é o valor que constitui o comprimento mínimo do intervalo de confiança?
Uma variável aleatória $X$ segue $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$
Eu considero um intervalo de confiança de $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.
Quando eu defino o nível de confiança em $1-\alpha$, quais são os valores de $b$ e $c$ o que torna o comprimento mínimo do intervalo de confiança $d=b+c$?
O que eu encontrei
A pergunta anterior a esta perguntou sobre a probabilidade de $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$
e eu facilmente obtive a resposta $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$
Acho que se preciso de um intervalo de confiança de $/theta$, Eu preciso definir $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ mas não sei o PDF do $\theta$. Foi aqui que fiquei preso.
Alguém pode me ajudar?
Respostas
Visto que a pdf que você forneceu é uma pdf condicional de X sob determinado θ, é possível derivar o intervalo de confiança (CI) de X sob determinado θ, mas não o IC de θ.
Ao contrário, se a fdp de f (θ | x) é dada pela mesma expressão, então o menor CI de θ pode ser derivado como S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].
Há um erro no resultado da probabilidade (que deve ficar claro pelo fato de ser ilimitado). Usando o intervalo$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ você deve ter a probabilidade de cobertura:
$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$
(Observe que, ao contrário do seu resultado, este se aproxima de um quando $b \rightarrow \infty$ ou $c \rightarrow \infty$.) Assim, encontrar o intervalo de confiança ideal desta forma requer que você resolva o seguinte problema de otimização:
$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$
Com um pouco de trabalho, deve ser possível mostrar que o ótimo ocorre quando $b=c$, de modo que o intervalo de confiança ideal seja um com ponto médio em $x$. Isso não é surpreendente, dado que a distribuição de Laplace é simétrica em torno do parâmetro médio$\theta$.