Quando a periodização de uma função é contínua?
Considere uma função $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, Onde $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$denota o espaço de funções contínuas limitadas desaparecendo no infinito . Estou interessado no$T$-periodização de tal função, definida como:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Conforme explicado em Fischer - Sobre a dualidade das funções discretas e periódicas ,$f_{T}$ é um $T$- distribuição temperada periódica se$f$é uma função que decai rapidamente - isto é, desaparece no infinito mais rápido do que qualquer polinômio.
Minha pergunta diz respeito à regularidade de $f_T$:
Para quais funções $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ é a função generalizada periodizada $f_{T}$definido acima de uma função contínua ordinária ?
Em outras palavras, quais devem ser as suposições sobre $f$ para que sua periodização seja contínua?
Qualquer pista seria muito apreciada. Muito obrigado antecipadamente!
Respostas
Você só precisa disso $f$diminui rápido o suficiente para tornar a série uniformemente convergente em conjuntos compactos. Por exemplo, seria suficiente que$|x|^p |f(x)|$ é limitado por alguns $p>1$. Então você pode estimar os termos da série uniformemente em um intervalo compacto$[-a,a]$ para $nT>2a$ de $cn^{-p}$ com uma constante $c$.
Resposta curta : por exemplo, para funções de Schwartz .
Resposta longa : A transformada de Fourier de "periódica" é "discreta" e a transformada de Fourier de "discreta" é "periódica". Este é um mapeamento um para um. É explicado neste Fischer - Sobre a dualidade das funções discretas e periódicas .
Analogamente, a transformada de Fourier de "regular" é "local" e a transformada de Fourier de "local" é "regular". É outro mapeamento um a um. Isso é explicado em Fischer - Sobre a dualidade das funções regulares e locais .
O termo "regular" refere-se a funções ordinárias, infinitamente diferenciáveis, que não crescem mais rápido que os polinômios. Essas funções (regulares) são chamadas de operadores de multiplicação para distribuições temperadas. Seu produto de multiplicação com qualquer distribuição temperada é novamente uma distribuição temperada.
O termo "local" refere-se a distribuições moderadas que são "locais", ou seja, elas decaem rapidamente para zero (mais rápido do que polinômios). Essas funções (generalizadas) são chamadas de operadores de convolução para distribuições temperadas. Seu produto de convolução com qualquer distribuição temperada é novamente uma distribuição temperada.
As propriedades de "regular" e "local" cumprem um teorema de convolução em distribuições temperadas .
Agora, as propriedades de "periódico", "discreto", "regular" e "local" podem ser combinadas. Por exemplo, "local + regular" são funções de Schwartz e a transformada de Fourier das funções de Schwartz são, novamente, funções de Schwartz ("local + regular"). Além disso, a transformada de Fourier de "periódico discreto" é novamente "periódico discreto". Ele produz a Transformada Discreta de Fourier (DFT) .
Agora, a pré - condição para funções generalizadas que podem ser periodizadas é que sejam "locais" e a pré-condição para funções generalizadas que podem ser discretizadas é que sejam "regulares".
Assim, voltando à questão original , para periodizar uma função (ordinária ou generalizada), ela deve ser "local" e para permitir que seja uma função comum deve ser "regular". Em outras palavras, as funções de Schwartz atendem a esses dois requisitos , são "regulares + locais".
Esta propriedade das funções de Schwartz de serem "regulares" e "locais" simultaneamente explica seu papel especial como funções de teste na teoria da distribuição e na física quântica .
No entanto, há uma diferença de "ser suave" no sentido comum e no sentido das funções generalizadas. Pode-se lembrar que toda função generalizada é suave (infinitamente diferenciável) e, portanto, "contínua". Para responder a essa questão no sentido das funções comuns, embutidas na teoria das funções generalizadas, existem mais funções além das funções de Schwartz. A função retangular , por exemplo, é suave no sentido de funções generalizadas, mas não é suave no sentido de funções comuns. Sua periodização, entretanto, produz a função que é constantemente 1 para T adequado, que é uma função normal e regular (em particular contínua). Então, obviamente, funções que são contínuas em um intervalo [-T / 2, + T / 2] e tais que f (-T / 2) = f (+ T / 2) também atendem ao requisito.