Quantos buracos pode ter uma projeção de uma variedade algébrica?
Deixei $V$ ser uma subvariedade fechada de $\mathbf{P}^n$. (Trabalhamos em um campo algebraicamente fechado.) Defina$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ de $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, Onde $P_0$ é o ponto $(0,0,...,0,*)$ dentro $\mathbf{P}^n$.
Se apenas $\pi$ foram definidos em todos $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ seria uma subvariedade fechada de $\mathbf{P}^{n-1}$. Não é, e$V$ não precisa ser uma subvariedade fechada de $\mathbf{P}^{n-1}$. (Exemplo fácil:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Ainda se pode dizer isso $\pi(V)$ contém $\overline{\pi(V)}\setminus W$, Onde $W$ é uma subvariedade fechada de codimensão positiva em $\overline{\pi(V)}$ e grau $\leq \deg(V)$, diga? Quão?
Respostas
Explodir para obter um morfismo $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Deixei$\widetilde{V}$ seja a transformação adequada de $V$ dentro $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. Então$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.
Agora podemos escrever $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ Onde $C_{P_0}V$ é o cone tangente de $V$ em $P_0$.
então $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (que em sua notação é $\pi(V)$) contém $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.
Como observado acima, $\Pi(\widetilde{V})$ é igual a $\overline{\pi(V)}$. Além disso,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ é um subconjunto fechado do divisor excepcional $E$e $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ é um isomorfismo.
Então nós entendemos $\pi(V)$ (em sua notação) contém $\overline{\pi(V)} \setminus W$ Onde $W \subset \mathbf P^{n-1}$ é um subconjunto fechado isomórfico à projetivização do cone tangente de $V$ em $P_0$.
O conjunto fechado $W$ tem dimensão $\operatorname{dim}(V)-1$. Por outro lado,$\pi(V)$ tem a mesma dimensão que $V$ a menos que $V$ é um cone cujo vértice contém $P_0$, mas nesse caso $\pi(V)$ é um conjunto fechado.
Quanto ao grau, o grau de $\mathbf P(C_{P_O}V))$como um subesquema de$E$ é igual à multiplicidade de $V$ em $P_0$, portanto, é delimitado acima por $\operatorname{deg}(V)$. Desde a$W$é (isomórfico a) o subconjunto fechado subjacente desse esquema, seu grau não é maior do que o do esquema. Então nós temos$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ como requerido.